WWW.BOOK.LIB-I.RU
БЕСПЛАТНАЯ  ИНТЕРНЕТ  БИБЛИОТЕКА - Электронные ресурсы
 

«Комплексные пространства 8: регулярные системы координат Миша Вербицкий Комплексные пространства 8: регулярные системы координат Правила: Зачеты по листкам бывают двух ...»

Комплексные пространства 8: регулярные системы координат Миша Вербицкий

Комплексные пространства 8: регулярные системы координат

Правила: Зачеты по листкам бывают двух типов: когда сданы все (или или 2/3) задачи со звездочками, либо все (или 2/3) задачи без звездочек. Задачи с двумя звездочками можно не сдавать.

Сдавшим k задач с двумя звездочками разрешается не сдавать 2k задач со звездочками или факториалом из того же листочка. Задачи, обозначенные (!), следует сдавать и тем и другим.

Если сданы 2/3 задач со звездочками и (!), студент получает 6t баллов, если все, кроме (максимум) одной – 10t баллов.

Если сданы 2/3 задач без звездочки и с (!), студент получает 6t баллов, если все, кроме (максимум) двух – 10t баллов.

Эти виды оценок не складываются, то есть больше 10t за листочек получить нельзя.

Коэффициент t равен 1.5, если задачи сданы не позже, чем через 31 день после выдачи, 1, если между 31 и 50 днями, и 0.7, если позже.

Результаты сдачи записываются на листке ведомости, которая выдается студенту; просьба не терять ее, больше нигде результаты храниться не будут.

8.1. Идеалы в кольце ростков Определение 8.1. Кольцо ростков в нуле голоморфных функций на Cn обозначается On. Мы считаем, что это функции от координат z1,..., zn. Мы считаем, что кольцо Od вложено в On как кольцо ростков функций от координат z1,..., zd.

Задача 8.1 (!).

Пусть J On – неглавный идеал, а A1, A2 его образующие, которые взаимно просты. Докажите, что для любой системы координат z1,..., zn, в которой A1, A2 выражаются через полиномы Вейерштрасса, Ai = ui Pi, Pi On1 [zn ], идеал J On1 ненулевой.

Задача 8.2.

Пусть J On – идеал.

а. Докажите, что в какой-то системе координат J порожден полиномами Вейерштрасса Pi On1 [zn ].

Докажите, что в такой системе координат J порожден J On1 б. (!) и полиномом Вейерштрасса P On1 [zn ] J минимальной возможной степени.

Задача 8.3.

Пусть J On – идеал, а Jk = J Ok.

а. (!) Докажите, что при подходящем выборе координатных функций z1,..., zn, каждый идеал Jk порожден Jk1 и полиномами Вейерштрасса Pk (zk ) Ok1 [zk ].

б. (!) Докажите, что каждый из полиномов Pk (zk ) определен единственным образом с точностью до обратимого элемента.

Определение 8.2. Такая система координат называется регулярной системой координат. Обыкновенно она записывается как z1,..., zd, zd+1,..., zn, где d – минимальное число, для которого J Od = 0. В этом случае, J порожден Pd+i (zd+i ), где i = 1, 2,..., n d.

–1– выдан 15.04.2017 Весна 2017, листок 8, version 2.1 20.05.2017 Комплексные пространства 8: регулярные системы координат Миша Вербицкий Определение 8.3. Комплексно-аналитическое подмножество (или же "комплексно-аналитическое подмногообразие") комплексного многообразия M есть замкнутое подмножество Z M, локально заданное как множество общих нулей какого-то набора голоморфных функций.

Определение 8.4. Пусть Z1, Z2 M комплесно-аналитические подмножества. Они называются эквивалентными в x, если Z1 U = Z2 U для какой-то окрестности U x. Росток комплексно-аналитического подмножества в x M есть класс эквивалентности комплексно-аналитических подмножеств Z U x по отношению к "эквивалентности в x."

Замечание 8.1. Пусть J On – идеал в кольне ростков. Тогда можно рассмотреть множество общих нулей J как росток комплексно-аналитического подмногообразия.





Задача 8.4.

Пусть J On – идеал, а Z – росток множества общих нулей J.

Предположим, что J Od = 0. Обозначим за d : Cn Cd проекцию на первые d координат.

а. (*) Докажите, что d : Z Cd сюрьективно как отображение ростков (то есть сюрьективно в какой-то окрестности 0).

б. Предположим, что z1,..., zn – регулярная система координат, причем Jd = 0, a Jd+1 = 0. Докажите, что прообраз каждой точки при отображении d : Z Cd конечен.

Определение 8.5. Росток комплексно-аналитического подмножества Z в x M называется неприводимым, если не существует нетривиального разложения Z = A1 A2 на два ростка комплексно-аналитических подмножества.

Неприводимая компонента Z есть неприводимое подмножество Z1 Z такое, что дополнение Z\Z1 содержится в комплексно-аналитическом подмножестве, которое строго меньше Z.

Задача 8.5.

Пусть Z – росток комплексно-аналитического подмножества, а JZ On – идеал функций, которые в нем зануляются.

а. Докажите, что Z неприводимо JZ простой идеал.

Докажите, что каждая точка Z содержится в неприводимой комб. (!) поненте Z.

Указание. Воспользуйтесь нетеровостью On.

Задача 8.6 (!).

Найдите неприводимое комплексное подмногообразие S C2 такое, что его росток в 0 приводим.

Задача 8.7 (*).

Пусть S C2 задано уравнением xn = y m, где m, n взаимно просты. Докажите, что росток S в нуле неприводим, или найдите контрпример.

<

–  –  –

8.2. Теорема о конечности Определение 8.6. Пусть : A B гомоморфизм колец, такой, что B конечно-порождено как A-модуль. Тогда называется конечным морфизмом.

Задача 8.8.

Пусть : A B – конечный морфизм, а p A – простой идеал.

–  –  –

б. (*) Докажите, что таких идеалов конечное число.

Задача 8.9.

Пусть : A B – конечный морфизм, а x B. Докажите, что x является корнем унитарного полинома с коэффициентами из A.

Задача 8.10.

Пусть A0 A1... – последовательность колец такая, что каждое Ai конечно порождено как Ai1 -модуль. Докажите, что An конечно порождено как A0 -модуль.

Задача 8.11 (!).

(теорема о конечности) Пусть J On – идеал, а z1,..., zn

– регулярная система координат, причем Jd = 0, a Jd+1 = 0. Докажите, что On /J конечно-порождено как Od -модуль.

Указание. Используя теорему Вейерштрасса о делении, убедитесь, что Ok /Jk конечно порождено как Ok1 -модуль, и примените индукцию по k.

Задача 8.12.

Пусть J – простой идеал в On, а z1,..., zd,..., zn – регулярная система координат, где Jd = 0, a Jd+1 = 0. Докажите, что поле частных k(On /J)

– конечное расширение поля частных k(Od ).

Задача 8.13.

Пусть J – идеал в On, а z1,..., zd,..., zn – регулярная система координат, где Jd = 0, a Jd+1 = 0. Обозначим за росток Z множества общих нулей J.

а. Докажите, что для любого u := n i=d+1 i zi, u удовлетворяет полиномиальному уравнению Pu (u) = 0, где Pu [t] Od [t] – унитарный полином.

–  –  –

в. (!) Докажите, что для общего u, проекция Z Zu индуцирует изоморфизм на полях частных k(OZu ) k(OZ ).

Указание. Воспользуйтесь теоремой о конечности и примените теорему Артина о примитивном элементе.

–  –  –

8.3. Теорема Гильберта о нулях Задача 8.14. Пусть Z – множество общих нулей идеала J On, а z1,..., zd,..., zn

– регулярная система координат для J. Обозначим за Od голоморфные функции от z1,..., zd. Докажите, что ненулевая функция f Od не может зануляться на Z.

Задача 8.15.

Пусть J On идеал в кольце ростков, z1,..., zd,..., zn – регулярная система координат для J, а f On /J.

а. Докажите, что P (f ) = 0, где P Od [t] – унитарный полином.

б. Пусть J прост, а f On /J ненулевой на Z, где Z – множество общих нулей J. Возьмем полином минимальной степени P = tn + an1 tn1 +... + a0 Od [t], такой, что P (f ) = 0. Докажите, что a0 = 0 на Z.

Задача 8.16.

Пусть J On – простой идеал, а f On /J зануляется на множестве Z общих нулей J. Докажите, что f = 0.

Указание. Воспользуйтесь предыдущей задачей.

Задача 8.17 (!).

Постройте биекцию между множеством простых идеалов в кольце ростков и множеством неприводимых ростков подмножеств.

–  –  –

Задача 8.20 (!).

Пусть Z – росток комплексно-аналитического множества.

Докажите, что Z равно объединению всех своих неприводимых компонент, и их конечное число.




Похожие работы:

«ИНФОРМАЦИОННАЯ СИСТЕМА "ТИПОВОЕ РЕШЕНИЕ МЕЖВЕДОМСТВЕННОГО ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ" АВТОМАТИЗИРОВАННОЕ РАБОЧЕЕ МЕСТО СОТРУДНИКА РУКОВОДСТВО ПОЛЬЗОВАТЕЛЯ АННОТАЦИЯ Объектом автоматизации является деятельность органов государственной власти, органов местного самоуправления по получению сведений по каналам межведомственного вза...»

«ОБЪЯВЛЕНИЕ ОБ ЭЛЕКТРОННЫХ ЗАКУПКАХ СПОСОБОМ ЗАПРОС ЦЕНОВЫХ ПРЕДЛОЖЕНИЙ N:187076 1. в лице "Восточные МЭС" (наименование заказчика) объявляет о проведении электронных закупок способом запроса ценовых предложений Электросварочный генерато...»

«Питер Хорбери – совершенно неполиткорректный человек. Работая в Geely, он искренне хвалит за успехи в дизайне Jaguar и Land Rover, а сам ездит на Ford GT. В России, где первым лицам государства и иностранцам на посту топ-менеджеров прих...»

«1 СОДЕРЖАНИЕ 1 Общие положения 3 2 Общая характеристика образовательной программы высшего образования 4 3 Характеристика профессиональной деятельности выпускника 5 4 Планируемые результаты освоения образовательной программы 7 5 Учебный план и график учебного процесса 10 6 Рабочие программы дисциплин/м...»

«Аннотация рабочей программы дисциплины “Управление качеством” 1. Требования ФГОС ВО к результатам освоения основной профессиональной образовательной программы Цель и задачи дисциплины 1.1. Бакалавр по направлению подготовки 38.03.07 Товароведение должен быть подготовлен к торгово-закупочной, организационно-управленческой в области то...»

«ОТЧЕТ ОБ ИТОГАХ ГОЛОСОВАНИЯ НА ВНЕОЧЕРЕДНОМ ОБЩЕМ СОБРАНИИ АКЦИОНЕРОВ ОТКРЫТОГО АКЦИОНЕРНОГО ОБЩЕСТВА "НЕФТЯНАЯ КОМПАНИЯ "РОСНЕФТЬ"Сведения об обществе: Полное фирменное наименование общества: Открытое акционерное общество "Нефтяная компания "Роснефть" (далее – ОАО "НК "Роснефть" или Общество). Место нахождения:...»

«7Г о д ъ ? 9". © С, 5 -© і_ ВЫХОДЯТЪ ДСЛ РЯЗЛ &Ъ ЛГШЩЪ. -* — Подписка принпмастД ла годовому из­ сл в ь Комитет но ус данію с ъ доставкою тройству церквей въ л пересылкою ШСТЬ здал’и ховпой Копрублей. систоріп. -аз марта 1905 года ОТДЛЪ ОФФИЦІАЛЬНЫЙ. т — д — аию аав м ш СОДЕРЖАНІЕ: Распоряженія Еяархіалг.иаго Начальства.—Отъ...»

«УЧЕБНАЯ ПРАКТИКА (практика по получению первичных профессиональных умений и навыков) 1. Место в структуре ОПОП Данный раздел относится к блоку практики Б2 учебного плана подготовки бакалавров по направл...»








 
2017 www.book.lib-i.ru - «Бесплатная электронная библиотека - электронные ресурсы»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.