WWW.BOOK.LIB-I.RU
БЕСПЛАТНАЯ  ИНТЕРНЕТ  БИБЛИОТЕКА - Электронные ресурсы
 

Pages:     | 1 ||

«ОГЛАВЛЕНИЕ 1. Основные понятия комбинаторики ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ 2. Вероятности событий 2.1. Алгебра событий 2.2. Статистическое и ...»

-- [ Страница 2 ] --

Пусть Х1, Х2, Х3, …, Хn - последовательность независимых одинаково распределенных случайных величин. Если дисперсии случайных величин конечны и отличны от нуля, то при достаточно больших n закон распределения суммы Х1 + Х2 + Х3 + … + Хn сколь угодно близок к нормальному закону распределения.

В условиях теоремы случайные величины независимы, поэтому М ( Х1 + Х2 + … + Хn) = nm, D (Х1 + Х2 + … + Хn ) = n2. Это означает, что при большом числе слагаемых закон распределения суммы Х1 + Х2 + … + Хn близок к N (nm, n2). Оба параметра nm и n2 возрастают с увеличением n. В виду этого удобнее рассматривать не просто суммы Х 1 + Х 2 +... + Х n nm случайных величин, а нормированные суммы.

n Более формально, в условиях теоремы имеет место предельное соотношение

–  –  –

Пусть Хi - время регулировки i-го прибора, а У = Х1 + Х2 + Х3 + … + Х50 – время выполнения работы рабочим. Требуется найти Р(У 360). Величина У является суммой большого числа одинаково распределенных независимых случайных величин, каждая из которых ограничена. По центральной предельной теореме У имеет закон распределения близкий к нормальному закону распределения. Найдем параметры этого закона, т.е. математическое ожидание и дисперсию величины У. Так как случайные величины Хi независимы, то

–  –  –

= Ф(3) + Ф(1) = 0,4986 + 0.3413 = 0,8399 0,84.

Следствие 1. Пусть k число появлений события в n независимых опытах, в каждом из которых вероятность появления события равна р (0 р 1). Тогда при достаточно больших n (порядка десятков, сотен и т. д.) имеют место следующие формулы

–  –  –



Первая формула дает приближенное значение вероятности того, что событие появится k раз в n опытах, и составляет содержание локальной теоремы Муавра-Лапласа. Вторая формула позволяет вычислять вероятность того, что в n независимых опытах событие появится от k1 до k2 раз. Эта формула основана на интегральной теореме Муавра-Лапласа.

Обе теоремы являются следствиями из центральной предельной теоремы, хотя и были доказаны гораздо раньше нее.

К формулам (3.37) и (3.38) приводят следующие соображения. Для числа появлений события воспользуемся представлением (3.12) k = J 1 + J2 +... + Jn, где Ji – индикатор события в i – м опыте, причем М(Ji) = р и D(Ji) = рq.

На основании (3.7) и (3.13) имеем М(k) = nр и D(k ) = nрq. Если число опытов велико, то k является суммой большого числа независимых случайных величин с ограниченной дисперсией. Условия центральной теоремы выполняются, поэтому k имеет закон распределения близкий к N(nр, nрq). Формула (3.37) дает запись плотности вероятности нормального закона распределения с указанными параметрами. Формула (3.38) получается, если записать формулу (3.16) для N(nр, nрq).

Пример 3. В страховой компании застраховано 10 000 автомобилей.

Вероятность поломки любого автомобиля в результате дорожно-транспортного происшествия равна 0,02. Каждый владелец застрахованного автомобиля платит в год 24 у.е. страховых и в случае поломки автомобиля в результате аварии получает от компании 1000 у.е. Найдите вероятность того, что по истечении года работы компания потерпит убытки от этого вида страховой деятельности.

Страховой сбор с 10 000 владельцев автомобилей составляет 2410 000 = 240 000 у.е. Компания потерпит убытки, если будет предъявлено более 240 исков по 1000 у.е.

каждый. Вероятность поступления страхового иска от каждого автовладельца равна 0,02.





Эксплуатацию каждого автомобиля в течение страхового срока можно считать независимым испытанием. Так как число испытаний велико (n = 10 000), то можно воспользоваться интегральной теоремой Муавра-Лапласа. По формуле (3.38)

–  –  –

Пример 5. Вероятность рождения мальчика равна 0,514.

Определить вероятность того, что доля мальчиков среди 400 новорожденных будет отличаться от вероятности рождения мальчика не более, чем на 0,05 в ту или другую сторону.

Рождение ребенка можно рассматривать как независимый опыт с вероятностью «успеха» р = 0,514 (По данным статистики на каждую тысячу новорожденных приходится в среднем 514 мальчиков). Тогда

–  –  –

Теорема Чебышева. Пусть наблюдается одна и та же случайная величина Х с математическим ожиданием М(Х) и дисперсией D(X).

Обозначим через Х1, Х2,..., Хn,... последовательность результатов наблюдений над этой случайной величиной.

При неограниченном увеличении числа независимых опытов среднее арифметическое наблюдаемых значений случайной величины сходится по вероятности к ее математическому ожиданию, т.е. для любого 0

–  –  –

Но вероятность не может быть больше единицы. Поэтому в последнем соотношении неравенство можно заменить на равенство, что и доказывает теорему.

З а м е ч а н и е 1. Теорема Чебышева обосновывает возможность определения математического ожидания случайной величины опытным путем. Для этого нужно проделать серию независимых наблюдений случайной величины и вычислить среднее арифметическое наблюдаемых значений. Если число наблюдений велико, то практически достоверно, что Х мало отличается от математического ожидания. Значение Х можно принять в качестве приближенного значения математического ожидания.

З а м е ч а н и е 2. Для повышения точности физических измерений обычно производят несколько измерений и среднее арифметическое их результатов берут в качестве искомого значения физической величины.

Обоснование такому способу действий дает теорема Чебышева. Пусть измеряется некоторая постоянная величина а. При измерении допускается некоторая ошибка Х, и в результате измерения получается величина а + Х.

Если систематической ошибки нет, т.е. М(Х) =0, то М(а + Х) = = М(а) + М(Х) = М(а) = а. Это означает, что при достаточно большом числе измерений среднее арифметическое их результатов будет сколь угодно близко к а с вероятностью как угодно близкой к единице. Таким образом, даже не точный прибор при указанном способе действий может обеспечить высокую точность.

Пусть производится n независимых опытов, в каждом из которых вероятность появления события А равна р. Частота появления события в этих n опытах k/n является случайной величиной, которая в соответствии с (3.27) и (3.28) имеет М (k/n) = p D(k/n) = pq/n.

Теорема Бернулли. При увеличении числа независимых опытов частота события сходится по вероятности к вероятности этого события, т.е. для любого 0 k p = 1.

lim P n n

–  –  –

Но вероятность не может превосходить единицу, знак неравенства следует заменить на знак равенства, что и доказывает теорему, которая дает обоснование статистическому определению вероятности.

3.14. Принцип практической уверенности.

В человеческом мировосприятии отсутствует один важный элемент мы не умеем проводить четкую грань между тем, что может быть и тем, чего быть не может. Например, можно ли прожить 200 лет? Нет. Но если можно прожить 100 лет, то почему нельзя прожить на один день больше? А если можно, то почему нельзя прожить еще на один день больше? Продолжая рассуждать подобным образом, мы не обнаружим границы между возможным и невозможным. В подобных ситуациях отчасти помогает понятие практически невозможного события.

Можно привести примеры событий, которые имеют ничтожно малую вероятность. Например, можно научить обезьяну наугад стучать по клавишам пишущей машинки. Существует отличная от нуля вероятность того, что обезьяна случайно отпечатает текст романа «Война и мир». Существует малая, но отличная от нуля, вероятность при полете на самолете попасть а авиационную катастрофу. В примере с возрастом можно считать длительность жизни человека случайной величиной, значения которой больше 150 лет крайне маловероятны. Во всех этих примерах события имеют малую вероятность, и возможностью появления таких событий мы пренебрегаем. Но пренебрегать возможностью появления маловероятных событий можно в отдельном опыте или в небольшом числе опытов.

Путь вероятность появления события в опыте ничтожно мала и равна р 0. Тогда вероятность не появления события равна 1- р = q, причем q 1, так как р все же отлично от нуля. Тогда

–  –  –

та как q 1 и qn n 0.

Значит, если опытов много, то рано или поздно происходят самые маловероятные события, и возможностью появления маловероятных событий в большой серии опытов пренебрегать нельзя.

Итак, если вероятность события близка к нулю, то можно быть практически уверенным, что в единичном опыте оно не произойдет.

События, имеющие вероятность близкую к нулю, в единичном опыте можно считать практически невозможным.

Насколько малой должна быть для этого вероятность события, зависит от того, насколько серьезные последствия нам грозят, если событие, объявленное практически невозможным, все-таки произойдет. Вопрос этот решается вне рамок теории вероятностей. Пусть, например, вероятность события равна 0,01. Если это вероятность попасть в автомобильную аварию, то вряд ли стоит пренебрегать такой вероятностью. Если же это вероятность вытащить на экзамене не выученный билет, то такой вероятностью можно пренебречь (на деле пренебрегают и гораздо большими вероятностями).

Наоборот, если вероятность события близка к единице, то можно быть практически уверенным, что в единичном опыте оно произойдет. Событие, имеющее вероятность, близкую к единице, можно считать в единичном опыте практически достоверным. Насколько близкой к единице должна быть вероятность, решается из тех же соображений, что и вопрос о малости вероятности практически невозможного события.

Понятия практически достоверного и практически невозможного события широко используются в математической статистике при формулировке выводов, сделанных по результатам наблюдений над случайными явлениями.

Правило «трех сигм». Пусть случайная величина Х имеет закон распределения N( m; 2). Вычислим вероятность того, что эта случайная величина отклонится от своего математического ожидания не более, чем на три средних квадратических отклонения. По формуле (3.17)

–  –  –

т.е. отклонения, большие 3, имеют вероятность 0,003. Во многих приложениях такой вероятностью можно пренебречь и считать, что при единичном наблюдении нормально распределенной случайной величины интервалом практически возможных значений является интервал (m - 3; m + 3). Это утверждение иногда называют правилом «трех сигм».

Заметим, что для любой случайной величины из неравенства Чебышева следует, что Р (Х – m 3) 1 = 1 0,9. Поэтому правилом «трех (3 ) 2 сигм» иногда пользуются не печалясь о том, что случайная величина вовсе не имеет нормального закона распределения.

Пример 1. Монета подброшена 100 раз.

Герб выпал 30 раз. Можно ли считать, что монета было симметричной?

Подбрасывание монеты можно считать независимым опытом, число которых n =

100. Число появлений события в большой серии опытов имеет примерно нормальный закон распределения с параметрами m = nр и 2 = nрq (см. следствие из центральной предельной теоремы). Если монета симметрична, то р = 0,5, q = 1 – р = 0,5. Тогда m = 1000,5 = 50 и 2 = 1000,50,5 = 25, = 5. Поэтому для симметричной монеты практически возможными значениями числа выпадений герба являются значения от 35 до 65. Число 30 к ним не принадлежит. Вывод: при симметричной монете такой результат практически невозможен.

Пример 2. Некто утверждает, что он экстрасенс.

Для проверки был проделан следующий опыт. Взято пять карточек с рисунками простейших геометрических фигур.

Испытатель выбирает карточку наугад, а испытуемый, находясь в соседней комнате, пытается определить, руководствуясь сверхчувственным восприятием, какая карточка вынута. Затем карточки тщательно перемешивают, и опыт повторяется. Так проделали 100 раз. Оказалось, что в 28 случаях испытуемый правильно назвал карточку. Есть ли основания считать, что имело место сверхчувственное восприятие?

Естественно предположить, что 28 совпадений произошли случайно. Вероятность угадать нужную карточку равна 1/5. Угадывание каждой карточки можно считать независимым опытом. Так как опытов много (n = 100), то число совпадений имеет близкий к нормальному закон распределения с параметрами m = nр = 1001/5 = 20 и 2 = nрq = 1001/5 4/5 = 16. Тогда = 4 и, согласно правилу «трех сигм», практически возможно угадать от 20 - 3 4 = 8 до 20 + 3 4 = 32 раз. Число 28 входит в интервал возможных при простом угадывании значений. Следовательно, опытные данные не подтверждают сверхчувственного восприятия.

–  –  –

Пример 4. Ошибка измерения распределена нормально N(0;4мк2).

Какова вероятность того, что при одном измерении ошибка не превысит 1 мк? Для повышения точности измерения проделано 25 измерений и в качестве результата измерения взято среднее арифметическое наблюдавшихся значений. Какова в этом случае вероятность того, что ошибка не превзойдет 1 мк? Определить последнюю вероятность, если закон распределения ошибки измерения неизвестен, а известна лишь ее дисперсия, равная 4 мк2.

Пусть Х - ошибка измерения. Тогда Р(Х - 0 1) = 2Ф(1/2) = 0,3829.

Если Х1, Х2, …,Х25 – результаты 25 независимых измерений, то их среднее арифметическое 25

–  –  –

3. Сколько раз нужно подбросить монету, чтобы с вероятностью, не меньшей 0,9, утверждать, что частота выпадения герба попадет в интервал (0,4; 0,6)? Получить оценку числа бросков монеты: а) по неравенству Чебышева; б) с использованием следствия 2 из центральной предельной теоремы.

Ответ: а) 250; б) 68.

4. Время безотказной работы предохранителя Х имеет показательный закон распределения (функция распределения F(х) = 1 – е -х, М(Х) = 1/, D(Х) = 1/2) с параметром = 0,01 отказов в час. Перегоревший предохранитель практически мгновенно заменяется новым. Какова вероятность того, что 20 предохранителей хватит на 2500 часов работы? Ответ: 0,13.

–  –  –

6. Сорок процентов жителей нашего города поддерживают некоторое мероприятие.

Для изучения общественного мнения было опрошено 400 взятых наугад жителей. Какова вероятность того, что больше половины из опрошенных выскажутся в поддержку мероприятия?

Ответ: 0,00003.

–  –  –

Математическую статистику обычно определяют как науку о методах получения научно обоснованных выводов о случайных явлениях по результатам наблюдений или экспериментов.

Математическая статистика возникла и развивалась вместе с теорией вероятностей, но в самостоятельную науку она оформилась уже в двадцатом столетии. В связи с интенсивным развитием математической статистики в последние десятилетия в понимании ее предмета появились новые акценты, расширился круг приложений, возникли новые по характеру задачи.

В качестве примера можно назвать задачу о наилучшем выборе, которая состоит в следующем. Имеется n однородных предметов различного качества, причем заранее о предметах ничего не известно. Предметы можно выбирать наугад по одному и обследовать. Если качество предмета нас не устраивает, то выбираем очередной предмет, но к отвергнутому предмету вернуться нельзя. Какой стратегии следовать, чтобы вероятность выбрать наилучший предмет была наибольшей?

Эту задачу называют ещё задачей о разборчивой невесте. Эта задача, несмотря на её видимую простоту, достаточно трудна и была решена менее полувека назад. Оптимальная стратегия рекомендует просмотреть примерно треть предметов ( точнее: n:е ) и затем остановить свой выбор на первом предмете лучшем, чем все ранее просмотренные. Не исключено, что лучший предмет уже был просмотрен в первой трети предметов, и отвергнут. Тогда придется остановиться на последнем из предметов. Еще раз подчеркнем, что в этой задаче целью был поиск оптимальной стратегии перед лицом неопределенности, предстоящей в образе n предметов неизвестного качества.

Поведение человека во многом индуктивно. На основе частных наблюдений и фактов он делает выводы о процессах, происходящих в мире, об их общих закономерностях. Наука, вместе с накоплением знаний и их систематизацией, вооружает человека определенной методологией и стратегией в изучении непознанных еще явлений. Там, где человек имеет дело со случайными явлениями, оптимальную стратегию человека вырабатывает математическая статистика. В этом смысле математическую статистику можно смело отнести к арсеналу методов научного исследования.

В экономике, биологии, технике, медицине, физике широко используются методы математической статистики для обработки результатов экспериментов, для получения научно обоснованных выводов.

4.2.Терминология прикладной и математической статистики

В приложениях математической статистики часто используется следующая схема и связанные с ней понятия. Имеется некоторая совокупность предметов или явлений, называемая генеральной совокупностью. Для изучений генеральной совокупности выбирают наугад часть ее элементов, если сплошное обследование по каким-либо причинам неприемлемо. В случае выбора n элементов говорят о выборке объема n.

Элементы выборки изучаются. Статистические задачи возникают тогда, когда по результатам обследования выборки нужно сделать выводы о генеральной совокупности в целом.

Уместно вспомнить индийскую притчу о трех слепых, которых спросили: «Что такое слон?» Один тронул слона за хобот и сказал, что слон длинный и мягкий. Другой взял слона за кончик бивня и сказал, что слон твердый и острый. Третий, пытаясь обхватить слона за ногу, заявил, что слон круглый и высокий как дерево. Попробуйте по таким результатам наблюдений представить себе слона, если Вы его никогда не видели. В не менее сложном положении оказывается исследователь, когда по результатам наблюдений случайного явления, пытается распознать закономерности, управляющие им.

Желательно иметь такую выборку, чтобы она правильно отражала состав генеральной совокупности. Отчасти этого можно добиться, если обеспечить равную возможность попасть в выборку для каждого элемента. Как правило, элементы в выборку отбираются наугад и состав выборки случаен. Из-за случайностей выборки исследователь может оказаться в положении литературного героя, который дважды приезжал в Париж и оба раза в дождливую погоду, после чего записал в своем дневнике, что Париж ужасный город, где всегда идет дождь. Чтобы результаты обследования выборки не выглядели столь же курьезно, каждый статистический вывод сопровождают указанием о степени его достоверности. Точный количественный смысл понятию степени достоверности позволяют придать методы теории вероятностей.

Понятие генеральной совокупности и выборки придают рассуждениям наглядность, четко обрисовывают характер приложений, но порождают вместе с тем неуклюжие названия типа: генеральное и выборочное среднее, генеральная и выборочная дисперсия и т.д.

В математической статистике из соображений общности и строгости изложения предпочитают пользоваться иными понятиями. Пусть имеется случайная величина Х, о которой ничего неизвестно. Либо неизвестны некоторые ее характеристики. Пронаблюдаем эту случайную величину n раз. Обозначим через Хi r результат i – го наблюдения над Х. Тогда совокупность значений Х = {X1, X2,..., Xn} будет выборкой из возможных значений случайной величины Х. Это тот статистический материал, который нужно исследовать и осмыслить, чтобы сделать выводы о самой случайной величине.

Заранее неизвестно, какие именно значения случайной величины Х реализуются в наблюдениях. Поэтому в теоретических рассуждениях можно рассматривать X1, X2,..., Xn как случайные величины, или как одну n – мерную случайную величину. Наиболее прост вариант независимых наблюдений, когда Хi независимы и можно считать, что мы имеем дело с n экземплярами одной и той же случайной величины Х с одним и тем же законом распределения.

Схему с генеральной совокупностью и выборкой можно рассматривать как частный случай описанной математической модели. Возможные значения случайной величины Х – это количественные признаки членов генеральной совокупности, а наблюдению случайной величины соответствует выбор наугад элемента генеральной совокупности. При повторной выборке наблюдения независимы. Предположение о независимости наблюдений бывает уместным и в случае большой по числу элементов генеральной совокупности. Тогда по мере формирования небольшой по объему выборки пропорции в генеральной совокупности практически не изменяются. Если же генеральная совокупность невелика и выборка бесповторная. То наблюдения зависимы. При дальнейшем чтении полезно иметь в виду указанное соответствие понятий прикладной и математической статистик.

Приведем это соответствие еще раз:

1. Генеральная совокупность Х – случайная величина;

r

2. Выборка объема n Х = {X1, X2,..., Xn} - результаты n наблюдений случайной величины Х.

Множество всех возможных выборок объема n из значений случайной величины Х называют выборочным пространством и обозначают обычно через W. При этом каждую выборку можно рассматривать как точку выборочного пространства. Если, например, случайная величина Х имеет возможные значения на всей действительной оси R, то {X1, X2,..., Xn} можно считать точкой выборочного пространства W = R n. Если при этом наблюдения независимы, а сама случайная величина Х имеет функцию распределения F(x), то выборка {X1, X2,..., Xn}, как n – мерная случайная величина, имеет функцию распределения (4.1) r F(x1, х2, …, х n) = F(x1) F( х2 ) … F( х n).

В этом случае плотность вероятности в точке выборочного пространства Х имеет вид f(x1, x2, …, xn) = f (x1) f(x2) … f(xn), где f (x) = F(x).

Разумеется, в задачах математической статистики F(x1, х2, …, х n) как и f(x1, x2, …, xn) обычно полностью или частично неизвестны. Это не мешает в теоретических рассуждениях оперировать с ними как с объективно существующими, хотя и неизвестными функциями.

r Точка выборочного пространства Х служит лишь исходным материалом для выводов о случайной величине Х. Методы математической статистики позволяют извлечь из выборки необходимую информацию и придти к вполне определенному решению.

Например, при проверке гипотезы следует по результатам обследования выборки остановиться на одном из решений:

отвергнуть гипотезу или принять ее. Если рассмотреть множество допустимых решений D, то формально решение статистической задачи сводится к поиску отображения W D, т.е. отображения выборочного пространства на пространство решений. Такое отображение называют статистическим решающим правилом или стратегией. Понятно, что для выбора в каком-то смысле наилучшей стратегии нужно иметь возможность сравнивать стратегии между собой.

Часто перед обстоятельным анализом статистических данных проводят их предварительную обработку. В частности, удобно пользоваться не самой выборкой X1, X2,...

, Xn, а вариационным рядом, который представляет собой элементы выборки, расположенные в порядке их возрастания:

X (1) X (2)... X (n).

Такая перестановка членов выборки не приводит к потере информации, поскольку от перемены местами сомножителей функция распределения выборки (4.1) не изменяется. Величины X (1) и X (n) принято называть крайними членами вариационного ряда.

4.3. Точечные оценки

Пусть случайная величина имеет неизвестную характеристику а. Такой характеристикой может быть, например, закон распределения, математическое ожидание, дисперсия, параметр закона распределения, вероятность определенного значения случайной величины и т. д.

Пронаблюдаем случайную величину n раз и получим выборку из ее возможных значений. В выборке скрыта информация об интересующей нас характеристике. Для получения этой информации необходимо подвергнуть результаты наблюдений соответствующей обработке.

Существует два подхода к решению этой задачи. Можно по результатам наблюдений вычислить приближенное значение характеристики, а можно указать целый интервал ее значений, согласующихся с опытными данными. В первом случае говорят о точечной оценке, во втором - об интервальной.

~~ Определение. Функция результатов наблюдений а = а (Х1, Х2,..., Хn), значения которой близки к неизвестному значению характеристики а, называется точечной оценкой этой характеристики.

Для одной и той же характеристики можно предложить разные точечные оценки. Необходимо иметь критерии сравнения оценок, для ~ суждения об их качестве. Оценка а (Х1, Х2,..., Хn), как функция случайных результатов наблюдений Х1, Х2,..., Хn, сама является случайной величиной.

~ Значения а, найденные по разным сериям наблюдений, могут отличаться от истинного значения характеристики а в ту или другую сторону.

Естественно потребовать, чтобы оценка систематически не завышала и не занижала оцениваемое значение, а с ростом числа наблюдений становилась более точной. Формализация названных требований приводит к следующим понятиям.

Определение. Оценка называется несмещенной, если ее математическое ~ ожидание равно оцениваемой величине: М( а ) = а. В противном случае оценку называют смещенной.

Определение. Оценка называется состоятельной, если при увеличении числа наблюдений она сходится по вероятности к оцениваемой величине, т.е.

для любого сколь угодно малого 0

–  –  –

Последнее условие удобно для проверки. Если оно выполнено, то из неравенства Чебышева следует состоятельность оценки.

~ В качестве меры разброса значений оценки а относительно а можно ~ рассматривать величину М( а - а)2. Из двух оценок предпочтительней та, для которой эта величина меньше. Если оценка имеет наименьшую меру разброса среди всех оценок характеристики, построенных по n наблюдениям, то оценку называют эффективной.

Следует отметить, что несмещенность и состоятельность являются желательными свойствами оценок, но не всегда разумно требовать наличия этих свойств у оценки. Например, может оказаться предпочтительней оценка хотя и обладающая небольшим смещением, но имеющая значительно меньший разброс значений, нежели несмещенная оценка. Более того, есть характеристики, для которых нет одновременно несмещенных и состоятельных оценок.

–  –  –

Величина s2 является несмещенной и состоятельной оценкой дисперсии.

Пример 1. Оценить математическое ожидание и дисперсию случайной величины Х по результатам ее независимых наблюдений: 7, 3, 4, 8, 4, 6, 3.

По формулам (4.2) и (4.4) имеем

–  –  –

Оценить математическое ожидание и дисперсию этой случайной величины.

Представителем каждого интервала можно считать его середину.

С учетом этого формулы (4.2) и (4.4) дают следующие оценки:

–  –  –

В теории вероятностей и ее приложениях часто приходится иметь дело с законами распределения, которые определяются некоторыми параметрами.

В качестве примера можно назвать нормальный закон распределения N(m, 2). Его параметры m и 2 имеют смысл математического ожидания и дисперсии соответственно. Их можно оценить с помощью Х и s2. В общем случае параметры законов распределения не всегда напрямую связаны со значениями числовых характеристик. Поэтому практический интерес представляет следующая задача.

Пусть случайная величина Х имеет функцию распределения F(x,), причем тип функции распределения F известен, но неизвестно значение параметра. По данным результатов наблюдений нужно оценить значение параметра. Параметр может быть и многомерным.

Продемонстрируем идею метода наибольшего правдоподобия на упрощенном примере. Пусть по результатам наблюдений, отмеченных на рис. 4.1 звездочками, нужно отдать предпочтение одной из двух функций плотности вероятности f(x,1) или f(x,2).

–  –  –

Из рисунка видно, что при значении параметра 2 такие результаты наблюдений маловероятны и вряд ли бы реализовались. При значении же 1 эти результаты наблюдений вполне возможны. Поэтому значение параметра 1 представляется более правдоподобным, чем значение 2. Такая аргументация позволяет сформулировать принцип наибольшего правдоподобия: в качестве оценки параметра выбирается то его значение, при котором данные результаты наблюдений наиболее вероятны.

Этот принцип приводит к следующему способу действий. Пусть закон распределения случайной величины Х зависит от неизвестного значения параметра. Обозначим через Р(х, ) для непрерывной случайной величины плотность вероятности в точке х, а для дискретной случайной величины – вероятность того, что Х = х. Если в n независимых наблюдениях реализовались значения случайной величины Х1, Х2, …, Хn, то

–  –  –

Пример 5. Случайная величина Х имеет нормальный закон распределения N(m,2) c неизвестными параметрами m и.

По результатам независимых наблюдений Х1,Х2, …, Хn найти наиболее правдоподобные значения этих параметров.

В соответствии с (4.5) функция правдоподобия имеет вид

–  –  –

4.6. Оценка закона распределения на основе опытных данных Пусть изучается случайная величина Х, закон распределения которой неизвестен. Нужно найти его на основе опытных данных. Произведем n независимых наблюдений этой случайной величины, в результате которых получим некоторые значения Х1, Х2, …, Хn.

Отметим, что оценкой вероятности события Р)А) = р служит его частота k/n. Если J – индикатор события А, т.е. J = 1 с вероятностью р и J = 0 с вероятностью q = 1 – р, то М( J ) = 1р + 0 q = р. Представление частоты в J1 + J 2 +... + J n k виде =, где Ji – индикатор события в i-м опыте, показывает, n n что частота события, как среднее арифметическое наблюдаемых значений индикатора, является несмещенной и состоятельной оценкой вероятности события.

Функция распределения случайной величины по определению равна F(x) = P(X x). Вероятность события X x можно оценить частотой этого ~ события и в качестве оценки для F(x) взять F (x ) = nх /n, где nх - число ~ наблюдений, для которых наблюдаемое значение Хi меньше х.

Функцию F (x ) называют статистической функцией распределения. Вид функции ~ F (x ) приведен на рис.4.2, где звездочками на числовой оси отмечены значения Х, которые получены в результате наблюдений. Если Х непрерывная случайная величина, то с ростом числа наблюдений скачки ~ функции F (x ) убывают по величине, а число их возрастает. В результате ~ функция F (x ) приближается к некоторой непрерывной функции, которая и является функцией распределения изучаемой случайной величины.

Статистическая функция распределения – несмещенная и состоятельная оценка функции распределения случайной величины.

–  –  –

Для оценки функции плотности вероятности разделим весь диапазон наблюдаемых значений Х на интервалы и для каждого определим число наблюдений, результаты которых принадлежат этому интервалу. Обозначим через i число наблюдений, приходящихся на i – й интервал. Тогда i /n – частота попадания в i – й интервал.

Перечислим интервалы в порядке их расположения на числовой оси и укажем соответствующие частоты:

Интервалы от х1 до х2 от х2 до х3... от хk до хk+1 1 /n 2 /n k /n Частоты...

Такая запись называется статистическим рядом. Статистический ряд можно наглядно изобразить в виде так называемой гистограммы. Для этого на числовой оси откладывают интервалы и над каждым из них строят прямоугольник, площадь которого равна частоте данного интервала.

Нужно частоту разделить на длину интервала и полученное значение отложить в качестве высоты соответствующего прямоугольника. При увеличении числа наблюдений и одновременном измельчении интервалов контур гистограммы приближается к функции плотности вероятности исследуемой случайной величины.

Рис 4.3 При построении гистограммы число интервалов не следует выбирать малым, так как теряется ясное представление о виде функции плотности вероятности. Большое число интервалов приводит к тому, что в каждый интервал попадает мало значений и на вид гистограммы влияет каждое отдельное наблюдение. На рис. 4.3 показаны гистограммы, построенные по одним и тем же результатам наблюдений, но при разной разбивке на интервалы. Обычно разбивка на интервалы, в каждый из которых попадает около десяти процентов наблюдений, оказывается достаточной для выявления основных особенностей случайной величины.

Если наблюдаемая случайная величина дискретна, то в записи статистического ряда роль интервалов играют отдельные значения случайной величины и вместо гистограммы строится так называемый полигон частот. Для этого на числовой оси указывают возможные значения случайной величины, а вдоль вертикальной оси откладывают отрезки, длины которых равны численно соответствующим частотам значений. Для наглядности верхние концы этих отрезков соединяют прямыми линиями.

Итак, построено статистическое распределение. Однако в нем неизбежно присутствуют элементы случайности, связанные с тем, что в наблюдениях реализовались те, а не другие из возможных значений случайной величины.

Только при очень большом числе наблюдений случайности сглаживаются, в силу закона больших чисел, и обнаруживается закономерность. Но большое число наблюдений доступно не всегда. Поэтому возникает задача по виду гистограммы, полигона частот, статистической функции распределения угадать, какой закон распределения имеет исследуемая величина. Такая задача называется иногда выравниванием статистических рядов. Обычно это делается в виде предположения или гипотезы о виде закона распределения. Ясно, что ни один серьезный исследователь не станет всецело полагаться на свою интуицию. Выдвинутое предположение нуждается в проверке, насколько оно согласуется с опытными данными. Такого типа вопросы изучаются в разделе математической статистики, который называется «Проверка статистических гипотез».

Отметим один принцип, которым естественно руководствоваться при выдвижении гипотезы о законе распределения. Например, пусть по виду гистограммы можно заключить, что случайная величина имеет нормальный закон распределения N(m,2). Но при различных значениях параметров m и 2 получаются кривые разной формы. Естественно в качестве значений m и 2 выбрать их оценки, полученные из тех же самых опытных данных.

Обычно так поступают и в других случаях: закон распределения подбирают так, чтобы его параметры совпадали с их оценками, полученными на основе тех же самых опытных данных.

Этому принципу желательно следовать. Но при выдвижении гипотезы следует прежде всего руководствоваться здравым смыслом, с учетом теоретических соображений и всей накопленной информации об исследуемой случайной величине.

4.7. Интервальные оценки (доверительные интервалы)

–  –  –

где - выбранная заранее вероятность. Тогда ~ ~ Р( - + ) =, ~ ~ и ( -, + ) можно рассматривать как доверительный интервал для.

Так что задача состоит в том, чтобы по заданному выбрать соответствующее. На основании (4.8) можно гарантировать, что с вероятностью значение точечной оценки отличается от неизвестного значения меньше, чем на.

Вероятность обычно выбирают настолько близкой к единице, что бы ее можно было считать вероятностью практически достоверного события. Тогда соответствующий доверительный интервал можно считать интервалом практически возможных значений, или интервалом значений, не противоречащих опытным данным.

4.8. Доверительный интервал для математического ожидания.

–  –  –

В выводе формулы (4.13) ключевую роль играет тот факт, что при большом числе независимых наблюдений среднее арифметическое их результатов имеет близкий к нормальному закон распределения. Эту формулу можно использовать для любой случайной величины с ограниченной дисперсией, лишь бы число наблюдений было достаточно велико (хотя бы несколько десятков). Не в точности нормальный закон распределения величины Х и оценка дисперсии по формуле (4.12) заставляют считать приведенный способ построения доверительного интервала приближенным.

Пример 1. По результатам 100 наблюдений случайной величины Х найдены оценки математического ожидания и дисперсии, равные Х = 20,4 и s2 = 3,62.

Построим доверительный интервал для математического ожидания последовательно для уровней надежности = 0,9, = 0,99 и = 0,999. По таблице функции Лапласа Ф(х) (приложение ) находим, что 2Ф(1,65) = 0,9, откуда t = 1,65. Для уровня надежности = 0,99 соответствующее t = 2,58, а для = 0,999 имеем t = 3,28. Подставляя полученные значения в (2.11) можем утверждать, что: 20,09 M(X) 20,71 при уровне надежности = 0,9; 19,91 M(X) 20,89 при уровне надежности = 0,99;

19,78 M(X) 21,02 при уровне надежности = 0,999.

Из приведенного примера видно, что при фиксированном числе наблюдений большему уровню надежности соответствует более широкий доверительный интервал.

Причем при значениях близких к единице небольшое увеличение уровня надежности приводит к значительному расширению доверительного интервала. В рассмотренном примере увеличение уровня надежности с 0,99 до 0,999, т.е. примерно на 0,01, повлекло расширение доверительного интервала почти на четверть исходной величины. Поэтому предпочитают выбирать не слишком близким к единице и получать при этом не слишком широкий доверительный интервал.

Во многих случаях такими приемлемыми уровнями надежности считают значения = 0,9, = 0,95.

б) Случай малой выборки.

При небольшом числе наблюдений для построения доверительного интервала необходима информация о типе закона распределения случайной величины. Рассмотрим практически важный случай, когда случайная величина Х имеет нормальный закон распределения N(m; ).

Если 2 известно, а неизвестно лишь m, то при независимых наблюдениях можно воспользоваться свойством устойчивости нормального закона распределения. Согласно этому свойству сумма независимых случайных величин, подчиненных нормальному закону распределения, сама имеет нормальный закон распределения. Поэтому в названных условиях и при небольшом числе наблюдений можно утверждать, что Х имеет нормальный закон распределения и использовать формулу (4.11).

Если дисперсия 2 неизвестна, то при небольшом числе наблюдений ее оценка на основе опытных данных получается грубой и формула (4.11) не решает задачи построения доверительного интервала.

Английский статистик Стьюдент (У. Госсет) для Х N(m; 2) с неизвестными параметрами m и 2 в предположении независимости опытов изучил величину n ( X m) Т=, s где s2 – оценка дисперсии по формуле (4.12), а n – число наблюдений.

Оказалось, что распределение величины Т не зависит ни от Х, ни от s, а зависит лишь от числа n – 1, которое принято называть числом степеней свободы. Стьюдент нашел функцию плотности вероятности fn-1(t) величины Т, график ее приведен на рис. 4.4.

–  –  –

и результаты сведены в таблицу (см. приложение, табл. 3). Эти вероятности численно равны заштрихованной площади на рис. 4.4.

При заданном уровне надежности по таблице распределения Стьюдента для n –1 степени свободы можно найти соответствующее t.

Подстановка этого t в (4.14) приводит к равенству

–  –  –

Пример 2. Было проведено 400 испытаний механизма катапультирования.

В этих испытания не зарегистрировано ни одного отказа. С надежностью 0,95 оценить вероятность отказа механизма катапультирования.

В данной серии испытаний частота появления отказа k/400 = 0. Поэтому непосредственно использовать формулу (4.19) нельзя. Заметим, что pq, так как p + q = 1. Функция Лапласа Ф(х) строго возрастает. Поэтому меньшему значению аргумента соответствует меньшее значение функции. В расчете на худший вариант можно воспользоваться формулой (4.18). По таблице функции Лапласа находим, что 2Ф(1,65) = 0,95. Поэтому t = 1,65 и 0 р 1,65 = 0,041.

Еще раз подчеркнем, что доверительный интервал (4.18) построен в расчете на худший вариант, когда вероятность события близка к. Но большое число опытов (n = 400) и нулевая частота события в них позволяют с уверенностью утверждать, что вероятность события близка к нулю. Если несколько ухудшить статистику испытаний и посчитать что

–  –  –

3. Для изучения общественного мнения было опрошено наугад 1600 жителей нашего города. Деятельность мэра города одобрили 1200 из них. Постройте с надежностью 0,95 доверительный интервал для доли жителей нашего города, одобряющих деятельность мэра.

Ответ: 0т 73% до 77%.

4. По данным 16 наблюдений нормально распределенной случайной величины найдены ее среднее арифметическое Х = 15,6 и оценка ее среднего квадратического отклонения s = 0,4. Построить доверительный интервал для математического ожидания этой случайной величины при уровне надежности 0,95.

Ответ: (15,385;15,815).

5. По результатам измерений некоторой физической величины найдены среднее арифметическое результатов измерений Х = 8,4 и оценка среднего квадратического отклонения s = 0,06. Считая, что ошибки измерений имеют нормальный закон распределения, найдите интервальную оценку для измеряемой величины с вероятностью 0,95. Ответ: (8,363; 8,437).

6. Из большой партии однотипных транзисторов наугад отобрали и проверили 100 штук. У 36 из них оказался коэффициент усиления меньше стандартного. Построить 95%-ный доверительный интервал для доли транзисторов с недостаточным коэффициентом усиления во всей партии. Ответ: (0,26; 0,45).

4.10. Регрессионный анализОценки по методу наименьших квадратов

Регрессионным анализом называется раздел математической статистики, объединяющий практические методы исследования корреляционной зависимости между случайными величинами по результатам наблюдений над ними. Сюда включаются методы выбора модели изучаемой зависимости и оценки ее параметров, методы проверки статистических гипотез о зависимости.

Пусть между случайными величинами Х и У существует линейная корреляционная зависимость (см. разд. 3.11). Это означает, что математическое ожидание У линейно зависит от значений случайной величины Х. График этой зависимости (линия регрессии У на Х) имеет уравнение М(У) = Х + b, где и b некоторые постоянные.

Линейная модель пригодна в качестве первого приближения и в случае нелинейной корреляции, если рассматривать небольшие инттервалы возможных значений случайных величин.

Пусть параметры линии регрессии и b неизвестны, неизвестна и величина коэффициента корреляции rху. Над случайными величинами Х и У проделано n независимых наблюдений, в результате которых получены n пар значений: (Х1,У1), (Х2,У2), …, (Хn, Уn). Эти результаты могут служить источником информации о неизвестных значениях, b, rху, надо только уметь эту информацию извлечь оттуда.

Неизвестная нам линия регрессии у = х + b, как и всякая линия регрессии, имеет то отличительное свойство, что средний квадрат отклонений значений У от нее минимален. Поэтому в качестве оценок для и b можно принять те их значения, при которых имеет минимум функция n

–  –  –

Х 3 8 4 4 7 8 2 5 6 3 У 4 5 2 5 6 8 3 4 5 5 найти коэффициент корреляции и уравнение линии регрессии У на Х.

Вычислим величины, необходимые для использования формул 4.20 – 4.22:

–  –  –

В этой таблице nij равно числу наблюдений, для которых Х находится в интервале (хi,xi+1), а У – в интервале (уj,yj+1). Через ni. обозначено число наблюдений, при которых Х(хi,xi+1), а У произвольно. Число наблюдений, при которых У(уj,yj+1), а Х произвольно, обозначено через n.j.

Если величины дискретны, то вместо интервалов указывают отдельные значения этих величин. Для непрерывных случайных величин представителем каждого интервала считают его середину и полагают, что ( хi + xi +1 ) и ( y j + y j +1 ) наблюдались nij раз.

При больших значениях Х и У можно для упрощения вычислений перенести начало координат и изменить масштаб по каждой из осей, а после завершения вычислений вернуться к старому масштабу.

–  –  –

0 4 + 1 11 + 2 3 0 7 + 1 8 ( ( У 2 = = 1,56; У 1 = = 0,53;

–  –  –

( У (

-2 -1 0 1 2 Х

–  –  –

По виду полученной ломаной линии можно предположить, что линия регрессии У на Х является прямой. Оценим ее пераметры.

Для этого сначала вычислим с учетом группировки данных в таблице все величины, необходимые для использования формул (4.20) – (4.22):

(( n((

–  –  –

Пусть некоторые физические величины Х и У связаны неизвестной нам функциональной зависимостью у = f(х). Для изучения этой зависимости производят измерения У при разных значениях Х. Измерениям сопутствуют ошибки и поэтому результат каждого измерения случаен. Если систематической ошибки при измерениях нет, то у = f(х) играет роль линии регрессии и все свойства линии регрессии приложимы к у = f(х). В частности, у = f(х) обычно находят по методу наименьших квадратов.

Пример 3. Получена выборка значений величин Х и У:

Х 2 3 4 4 6 7 8 10 У 8 5 2 6 3 2 1 2

–  –  –

1. По данным измерений двух случайных величин Х 6 10 15 20 22 25 30 32 35 38 У 0 18 5 27 14 10 18 35 28 30

–  –  –

4.Считая, что корреляционная зависимость между величинами Х и У имеет вид у = х2 + х +, найдите оценки параметров,, по выборке наблюдений значений Х и У:

–  –  –

5.1. Основные понятия Статистической гипотезой называется гипотеза, которая относится к виду функции распределения, к параметрам функции распределения, к числовым характеристикам случайной величины и т.д., и которую можно проверить на основе опытных данных. Например, предположение о том, что отклонение истинного размера детали от расчетного имеет нормальный закон распределения, является статистической гипотезой. Предположение о наличии жизни на Марсе статистической гипотезой не является, так как оно не выражает какого-либо утверждения о законе распределения о законе распределения или иных характеристиках случайной величины.

Рассмотрим упрощенный пример. Пусть выдвинута гипотеза о том, что плотность вероятности f(x) случайной величины Х имеет вид, изображенный на рис. 5.1.

f(x)

a b Х Pис. 5.1.

Есть возможность произвести только одно наблюдение. В этом случае выборочным пространством служит числовая ось. Из рис. 5.1 видно, что значения случайной величины из отрезка [a,b] имеют относительно большую плотность вероятности и попадание наблюдаемого значения в этот отрезок не противоречит гипотезе. Напротив, значения вне этого отрезка в соответствии с гипотезой маловероятны, и реализация одного из этих значений говорит не в пользу гипотезы. В этом упрощенном примере важно следующее: выборочное пространство W мы разбили на две части. Одну из них, точки вне отрезка [a,b], обозначим через Wо и назовем критической областью. Если наблюдение попадает в Wо, то гипотезу отвергаем, а если не попадет, то будем считать гипотезу не противеречащей опытным данным или правдоподобной.

В случае выборки объема n по тому же принципу разбивают выборочное пространство на две части. Одну их них, выборки самые маловероятные при данной гипотезе, обозначают через Wо и называют критической областью. В случае попадания выборки в критическую область гипотезу отвергают. В противном случае признают гипотезу не противоречащей опытным данным. Если говорить о проверке гипотез с точки зрения статистических решающих функций, то, приписав каждой выборке определенное решение, принять или отвергнуть гипотезу, мы тем самым разбиваем выборочное пространство на две части: область принятия гипотезы и критическую область.

Статистическим критерием называют правило, указывающее, когда статистическую гипотезу следует принять, а когда отвергнуть. Построение статистического критерия сводится к выбору в выборочном пространстве критической области W0, при попадании выборки в которую гипотеза отвергается. Обычно в критическую область включают самые маловероятные при данной гипотезе выборки.

Даже при верной гипотезе наблюдения могут сложиться неблагоприятно, в итоге выборка может попасть в критическую область и гипотеза будет отвергнута. Вероятность такого исхода = Р( Х W0 ) мала, так как к критической области отнесены самые маловероятные при данной гипотезе выборки. Вероятность можно рассматривать как вероятность ошибки, когда гипотеза отвергается. Эту вероятность называют уровнем значимости критерия. Критерии для проверки гипотезы о законе распределения случайной величины обычно называют критериями согласия.

Статистический критерий в описанном виде может быть сложным, и трудно будет установить, принадлежит ли выборка критической области или нет. Поэтому предпочитают на выборочном пространстве задать некоторую функцию, которая каждой выборке ставит в соответствие определенное число. Значения функции, которые соответствуют критической области, естественно считать критическими значениями. Проверка гипотезы тогда сводится к вычислению по выборке значения этой функции и проверке, является ли оно критическим. Есть функции, не зависящие от вида проверяемой гипотезы. Одна из таких функций дает знаменитый критерий «хи-квадрат».

5.2. Критерий согласия «хи-квадрат».

Пусть выдвинута гипотеза о законе распределения случайной величины Х. Требуется проверить, насколько эта гипотеза правдоподобна. Для этого разобьем множество возможных значений случайной величины на k разрядов 1, 2, …, k. Для непрерывной случайной величины роль разрядов играют интервалы значений, для дискретной - отдельные возможные значения или группы таких значений. В соответствии с выдвинутой гипотезой каждому разряду соответствует определенная вероятность (5.1) р1 = Р(Х 1), р2 = Р(Х 2),..., рk = Р(Х k).

Например, если выдвинута гипотеза, что случайная величина имеет функцию распределения F(x), а в качестве i выбраны интервалы (хi, хi+1), то рi = Р(хi Х хi+1) = F(хi+1) – F(хi).

–  –  –

где r - число, называемое числом степеней свободы. Число r равно разности между числом разрядов и числом связей, наложенных на величины i. Связью называется всякое соотношение, в которое входят величины i.

При данной гипотезе и фиксированном числе наблюдений величина 2 зависит от 1, 2, …, k. Каждому i соответствует свое слагаемое, но не все i могут изменяться свободно, так как они связаны соотношением 1 + 2 + … + k = n. Значит, величина n вместе с величинами 1, 2, …, k-1 однозначно определяют величину k, которая поэтому свободно меняться не может. Число степеней свободы соответствует числу свободно меняющихся величин I. На i могут быть наложены и другие связи. Если всего связей m, то независимо меняющихся величин i будет r = k – m. Связь 1 + 2 + … + k = n налагается всегда. Другие связи могут возникнуть, например, если при выдвижении гипотезы с помощью величин i оцениваются параметры предполагаемого закона распределения. Чем больше r, тем сильнее график r (u ) вытянут вдоль горизонтальной оси (рис. 5.2).

–  –  –

можно понимать, как вероятность того, что в силу чисто случайных причин, за счет наблюдения тех, а не других значений случайной величины, мера расхождения между гипотезой и результатами наблюдений будет больше или равна 2. Эти вероятности можно использовать для проверки гипотезы о законе распределения случайной величины следующим образом.

Предположим, что гипотеза верна. Выберем вероятность настолько малой, чтобы ее можно было считать вероятностью практически невозможного события. Для выбранного и числа степеней свободы r из таблицы распределения величины 2 находим 2. Если гипотеза верна, то

–  –  –

опытными данными можно объяснить случайностями выборки. В этом случае можно заключить, что гипотеза не противоречит опытным данным, или что гипотеза правдоподобна. Это, конечно, не означает, что гипотеза верна. Скромность вывода в последнем случае можно объяснить тем, что согласующиеся с гипотезой факты гипотезы не доказывают, а делают ее лишь правдоподобной. В то же время всего один факт, противоречащий гипотезе, ее отвергает.

Замечание 1. Хотя и маловероятно, чтобы 2 при верной гипотезе превзошло уровень 2, но это все-таки может случиться и верная гипотеза будет отвергнута. Вероятность такого события равна и ее можно рассматривать как вероятность ошибки, как вероятность отвергнуть гипотезу, когда она верна. Напомним, что вероятность ошибки, когда гипотеза отвергается, называют уровнем значимости критерия. Не следует думать, что чем меньше уровень значимости, тем лучше. При слишком малых критерий ведет себя перестраховочно и бракует гипотезу только при кричаще больших значениях 2.

–  –  –

Пример 1. Были исследованы 200 изготовленных деталей на отклонение истинного размера от расчетного.

Сгруппированные данные исследований приведены в виде статистического ряда:

–  –  –

По данному статистическому ряду построить гистограмму. По виду гистограммы выдвинуть гипотезу о типе закона распределения отклонений. Подобрать параметры закона распределения (равные их оценкам на основе опытных данных). Построить на том же графике функцию плотности вероятности, соответствующую выдвинутой гипотезе. С помощью критерия согласия проверить согласуется ли выдвинутая гипотеза с опытными данными. Уровень значимости взять, например, равным 0,05.

Для того, чтобы получить представление о виде закона распределения изучаемой величины, построим гистограмму. Для этого над каждым интервалом построим прямоугольник, площадь которого численно равна частоте попадания в интервал (рис.5.3).

–  –  –

0,02 0,01 0,095 0,210 0,355 0,280 0,006 Х

- 20 -10 0 5 10 20 30

–  –  –

19 0,069 13,8 5,2 27,04 1,96 42 0,241 48,2 -6,2 38,44 0,78 71 0,362 72,4 -1,4 1,96 0,02 56 0,241 48,2 7,8 60,84 1,26 12 0,069 23,8 - 1,8 3,24 0,23

–  –  –

Итак, мера расхождения между гипотезой и опытными данными равна в = 4,25.

Построим критическую область для уровня значимости = 0,05. Число степеней свободы для 2 равно 2. Так как число интервалов равно 5, а на величины i наложены три связи: i = 200; Х = 5; s = 111,6. В итоге r = 5 –3 =2. Для заданного уровня значимости и числа степеней свободы r = 2 находим из таблицы распределения 2 (см. Приложения, табл. 4) критическое значение 2 = 5,99.

Критическая область для проверки гипотезы имеет вид [5,99; + ). Значение = 4,25 в критическую область не входит. Вывод: гипотеза опытным данным не в противоречит. Меру расхождения в = 4,25 можно объяснить случайностями выборки.

Пример 2.

В виде статистического ряда приведены сгруппированные данные о времени безотказной работы 400 приборов:

–  –  –

Согласуются ли эти данные с предположением, что время безотказной работы прибора имеет функцию распределения F(x) = 1 – exp(-x/500)? Уровень значимости взять, например, равным 0,02.

Вычислим вероятности, приходящиеся в соответствии с гипотезой на интервалы:

р1 = Р(0 500) = F(500) - F(0) = 1 – е –1 – 1 + е0 = 1 – 1/е 0,6324;

р2 = Р(500 1000) = 1 – е –2 - 1 + е –1 = 0,3676 – 0,1351 0, 2325;

р3 = Р(1000 1500) = 1 – е –3 - 1 + е –2 = 0,1351 – 0,0499 0,0852;

р4 = Р(1500 2000) = 1 – е –4 - 1 + е –3 = 0,0499 – 0,0182 0,0317.

–  –  –

257 0,6324 252,96 4,04 16,32 0,06 78 0,2325 93 -15 225 2,42 49 0,0852 34,08 14,92 222,6 6,53 16 0,0317 12,68 3,32 11,02 0,97

–  –  –

32 0,5 25 7 49 1,96 18 0,5 25 -7 49 1,96

–  –  –

Пример 4. Для каждого из 100 телевизоров регистрировалось число выходов из строя в течение гарантийного срока.

Результаты представлены в виде статистического ряда:

–  –  –

значение в критическую область не входит. Вывод: гипотеза о пуассоновском законе распределения изучаемой случайной величины опытным данным не противоречит.

–  –  –

3. Для исследования потока посетителей на одном предприятии массового обслуживания (например, магазин, банк, поликлиника и т. д.) измерили интервалы времени между последовательно приходящими посетителями. Результаты наблюдений представлены в виде статистического ряда

–  –  –

Согласуются ли эти результаты при уровне значимости = 0,05 с предположением, что отклонения от стандарта имеют нормальный закон распределения?

Ответ: Предположение опытным данным противоречит.

–  –  –

Критерий для проверки гипотезы формируют за счет отнесения к критической области выборок, которые при данной гипотезе наименее вероятны. Но может оказаться, что одинаково маловероятных выборок при данной гипотезе больше, чем это необходимо для формирования критерия данного уровня значимости. Тогда трудно решить какие именно выборки следует включать в критическую область.

Этих трудностей можно избежать, если вместе с проверяемой гипотезой рассматривать и альтернативные гипотезы. В этом главное отличие нового подхода к проверке статистических гипотез, который сложился на рубеже двадцатых и тридцатых годов прошлого века. Такой подход позволяет остроить в некотором смысле наилучшие критерии.

Пусть случайная величина Х имеет функцию распределения F(x,), тип которой известен, а значение параметра неизвестно. Для известно только множество допустимых значений. Обычно гипотеза об истинном значении параметра о сводится к утверждению, что о принадлежит некоторому множеству. Например, в качестве может быть названо одно из допустимых значений.

Определение. Параметрической статистической гипотезой Но называется утверждение, что о, против альтернативы Н1, что о.

Гипотезу Но иногда называют нулевой гипотезой и считают. Что она истинна, если действительно о. При о нулевую гипотезу называют ложной.

Параметрическую гипотезу проверяют по обычной схеме. Производят n наблюдений случайной величины, в результате которых получают некоторые r результаты Х = {Х1, Х2, …, Хn}. В выборочном пространстве W формируется критическая область Wо, при попадании выборки в которую гипотеза отвергается. Но выбор критической области при наличии альтернативной гипотезы имеет свои особенности. Прежде, чем их обсудить введем несколько новых понятий.

При любом критерии проверки статистической гипотезы по результатам наблюдений возможны ошибки двух типов: ошибка первого рода возникает при отклонении гипотезы Но, когда она верна, а ошибка второго рода совершается, если принимается ложная гипотеза Но. Аналогом ошибки первого рода при исполнении правосудия будет осуждение невиновного. Ошибка второго рода соответствует оправданию виновного. r r Обозначим через Р( Х Wо / ) вероятность того, что выборка Х попадет в критическую область, если значение параметра равно. Эта вероятность как функция параметра называется функцией мощности критерия Wо. При каждом эта функция показывает с какой вероятностью статистический критерий Wо отклоняет гипотезу, если на самом деле Х имеет функцию распределения F(x,). Заметим, что r = Р( Х Wо / о) r при о равна вероятности ошибки первого рода.

Величина = 1 - Р( Х Wо / о) при о равна вероятности ошибки второго рода. Это вероятность непопадания в критическую область, т.е.

вероятность принятия гипотезы Но: о, когда эта гипотеза ложная.

Разным критериям для проверки гипотезы Но против альтернативы Н1 сопутствуют разные вероятности и. Естественно желание сделать обе эти вероятности минимально возможными. Но обычно уменьшение одной из них влечет увеличение другой. Необходимо компромиссное решение, которое достигается следующим образом. Выбирают вероятность практически невозможного события в качестве уровня значимости. Это и есть вероятность ошибки первого рода. Критическую область формируют так, чтобы при заданном уровне значимости, вероятность ошибки второго рода была как можно меньше.

Учет ошибок первого и второго рода позволяет сравнивать между собой критерии. Пусть W01 и W02 - два критерия для проверки гипотезы Но против альтернативы Н1, имеющие одинаковые уровни значимости. Если при этом r r Р( Х W02 /о) Р( Х W01 /о) при о и r r Р( Х W02 /о) Р( Х W01 /о) при о, то критерий W02 называют более мощным, чем W01. Из определения видно, что W02 имеет большую вероятность отвергнуть ложную гипотезу при одинаковой с W01 вероятности ошибки первого рода. Если W02 мощнее любого другого критерия, имеющего уровень значимости, то W02 называют наиболее мощным критерием.

Гипотеза, однозначно определяющая вероятностное распределение, называется простой. В противном случае гипотезу называют сложной.

Например, гипотеза о симметричности и однородности игрального кубика проста, так как однозначно определяет вероятности всех исходов при подбрасывании кубика. Гипотеза о том, что ошибка измерений имеет нормальный закон распределения, является сложной, так как при разных значениях параметров получаются разные нормальные законы распределения.

Простая параметрическая гипотеза против простой альтернативы может быть описана указанием одной точки о в и одной точки 1 в.

Пусть необходимо проверить гипотезу Но: = о против альтернативы Н1: = 1. Для определенности рассмотрим непрерывную случайную величину Х с функцией плотности вероятности f (x,), где параметр v неизвестен. Если наблюдения независимы, то выборочная точка Х, будучи многомерной случайной величиной, имеет функцию плотности вероятности f (x1,х2, …,хn,) = f (x1,)f (x2,) … f (хn,) Согласно сформулированным требованиям относительно ошибок первого и второго рода, критическую область следует выбрать так, чтобы при заданном вероятность v (5.6) Р( Х W0/ 0 ) =... f (x1,х2, …,хn,о) dx1, …,dхn = Wo

–  –  –

была наибольшей.

Такую задачу впервые решили в 1933 г. Ю. Нейман и Э. Пирсон и полученный ими результат носит их имя. Для формулировки этого результата понадобится понятие абсолютной взаимной непрерывности функций, которое состоит в том, что в каждой точке функции или обе равны нулю, или обе нулю не равны.

Лемма Неймана - Пирсона.

Если f (x1,х2, …,хn,о) и f (x1,х2, …,хn,1) взаимно абсолютно непрерывны, то для любого (0 1) можно указать такое С 0, что точки выборочного пространства, в которых

–  –  –

то в первую очередь в критическую область следует включать выборки, для которых отношение (5.8) наиболее велико. Именно такие выборочные точки в интеграл (5.6) будут вносить наименьший вклад, а в интеграл (5.7) относительно наибольший. Отбор этих точек следует производить до тех пор, пока не наберется множество Wо, для которого выполняется равенство (5.6). Величина отношения (5.8) для последней, включенной в Wо, точки и укажет постоянную С.

Пример 1. Изготовитель утверждает, что в данной большой партии изделий только 10% изделий низкого сорта.

Было отобрано наугад пять изделий и среди них оказалось три изделия низкого сорта. С помощью леммы Неймана- Пирсона построить критерий и проверить гипотезу о том, что процент изделий низкого сорта действительно равен 10 (р0 = 0,1) против альтернативы, что процент низкосортных изделий больше 10 ( р1 р0).

Вероятность ошибки первого рода выбрать 0,01. Какова вероятность ошибки второго рода, если р1 = 0,6?

Согласно проверяемой гипотезе р0 = 0,1 при альтернативном значении р1 р0.

По лемме Неймана- Пирсона в критическую область следует включить те значения k, для которых

–  –  –

Если к критической области отнести значения {3,4,5}, то вероятность ошибки первого рода будет равна = 0,00001 + 0,00045 + 0,0081 = 0,00856 0,01.

В условиях задачи оказалось, что среди пяти проверенных три изделия бракованных. Значение k = 3 входит в критическую область. Гипотезу р0 = 0,1 отвергаем в пользу альтернативы. Вероятность того, что мы это делаем ошибочно, меньше 0,01.

Вероятностью ошибки второго рода называется вероятность принять ложную гипотезу. Гипотеза р0 = 0,1 будет принята при k = 0,1, 2. Если вероятность изготовления бракованного изделия на самом деле равна р1 = 0,6, то вероятность принять ложную гипотезу р0 = 0,1 равна С 5 (0,6) (0,4) + С 5 (0,6) (0,4) + С 5 (0,6) (0,4) = 0,31744 1/3.

Вероятность ошибки второго рода велика потому, что критерий построен на скудном статистическом материале (всего пять наблюдений!).

Замечание. В рассмотренной задаче мы имели дело с дискретной случайной величиной и не оказалось такого целого k1, при котором Р(k k1) = = 0,01. Пришлось сформировать критерий с уровнем значимости несколько меньшим.

Если по каким- либо причинам нужен критерий с вероятности ошибки первого рода в точности равной, то можно поступить следующим образом.

В нашем случае критическая область имеет вид k k1, причем существует такое k1 = 2, что Р(k k1) = 1 2 = Р(k k1+1).

От вероятности Р( k = k1) «отщепим» небольшую часть, чтобы она в сумме с вероятностью Р(k k1+1) равнялась. Эту недостающую часть вероятности обозначим через и выберем равной = ( - 2)/( 1- 2).

Тогда вероятность отвергнуть гипотезу будет равна 2 + (1- 2) = 2 + (1- 2) =, если при наблюдении значения k1 подбрасывать несимметричную монету, у которой вероятность выпадения герба равна, и при выпадении герба гипотезу отвергать. Если же герб не выпадет, то гипотеза принимается.

Такой критерий называют рандомизованным критерием (от английского слова random – случайный). С помощью случайных чисел можно смоделировать подбрасывание указанной монеты, не прибегая к эксперименту в натуре.

Пример 2. Известно, что при тщательном перемешивании теста изюмины распределяются в нем примерно по закону Пуассона, т.

е. вероятность наличия в булочке k изюмин равна приблизительно k e-/k!, где - среднее число изюмин, приходящихся на булочку. При выпечке булочек полагается по стандарту на 1000 булочек 9000 изюмин. Имеется подозрение, что в тесто засыпали изюмин меньше, чем полагается по стандарту. Для проверки выбирается одна булочка и пересчитываются изюмины в ней.

Построить критерий для проверки гипотезы о том, что 0 = 9 против альтернативы

1 0. Вероятность ошибки первого рода взять приблизительно 0,02.

Для проверки гипотезы 0 = 9 против альтернативы 1 0 по лемме НейманаПирсона в критическую область следует включить те значения k, для которых

–  –  –

Пример 3. Время безотказной работы некоторого прибора Х имеет функцию плотности вероятности f(x,) = e-x, x 0.

В отношении параметра есть гипотеза Но:

= о против алтернативы Н1: = 1 (1 о ). Построить критерий проверки этой гипотезы по наблюдению времени безотказной работы одного прибора.

Согласно лемме Неймана – Пирсона в критическую область следует отнести значения случайной величины Х, для которых

–  –  –

1. Разработчик утверждает, что в среднем из каждых 3 ракет 2 попадают в цель.

Для проверки предполагается произвести пуски 6 ракет. Для вероятности ошибки первого рода = 0,02 найдите критические значения числа попаданий для проверки гипотезы о том, что вероятность попадания в цель р = ро = 2/3 ( Но: рo = 2/3 ) против альтернативы Н1: р = р1 ро.

Ответ: Wo ={0,1}.

2. Случайная величина Х имеет нормальный закон распределения N(m,2).

Значение дисперсии 2 известно. Постройте критическую область для проверки всего по одному наблюдению над случайной величиной гипотезы Но: m = mо против алтернативы Н1:m = m1 mо. Вероятность ошибки первого рода возьмите равную.

Ответ: Критическая область Wo ={ mо + t, }, где функция Лапласа Ф(t) = -.

3. Количество бракованных изделий в партии не должно превышать 5%. В результате контроля 100 изделий обнаружено было 6 бракованных изделий. Можно ли считать, что процент брака в этой партии превосходит допустимый при вероятности ошибки первого рода, равной 0,01? Ответ: Нет.

4. Устроители лотереи утверждают, что каждый третий билет выигрышный. Некто приобрел 13 билетов и из них выграл только один. Есть ли основания этому участнику лотереи сетовать на свою особую невезучесть, или стоит усомниться в правдивости устроителей лотереи? (Указание: При вероятности ошибки первого рода, например, равной = 0,04 проверьте гипотезу о том, что вероятность выигрыша р = ро = 1/3, против альтернативы, что р = р1 1/3 ).

Ответ: Следует усомниться в правдивости организаторов лотереи.

Вероятность ошибочности такого вывода менее 0,04.

5. Большая партия изделий может содержать некоторую долю изделий со скрытым дефектом. Поставщик утверждает, что эта доля равна 5%; покупатель полагает, что эта доля равна 10%. Поставщик и покупатель договорились: из партии случайным образом отбирается и проверяется 10 изделий; партия принимается на условиях поставщика, если при проверке обнаружится не более одного дефектного изделия; в противном случае партия принимается на условиях покупателя. Каковы в этом случае вероятности ошибок первого и второго рода.

Ответ: 0,086; 0,736.

5.4. Проверка гипотезы о равенстве математических ожиданий

а) Проверка гипотезы о равенстве математических ожиданий Пусть проделано две серии наблюдений. Большой практический интерес представляет следующий вопрос: можно ли по результатам наблюдений заключить, что наблюдалась одна и та же случайная величина?

В такой общей постановке вопроса речь идет о совпадении законов распределения двух наблюдаемых случайных величин. Можно поставить более простые вопросы лишь о равенстве числовых характеристик, в первую очередь о равенстве математических ожиданий этих величин.

Такие вопросы возникают, например, если производится две серии измерений некоторой физической величины в разных лабораториях, на разных приборах. При измерениях неизбежны ошибки, поэтому средние арифметические по каждой из серий наблюдений не совпадают. Можно ли эти расхождения объяснить ошибками измерений, или они говорят о том, что измерялись разные величины?

Подобные же проблемы возникают при выборочном контроле качества, когда время от времени выбирают часть произведенных изделий и обследуют. Результаты обследовапний каждый раз разные. Можно ли расхождения объяснить случайностями отбора, или они говорят о нарушении технологического режима с течением времени?

Пусть над случайной величиной Х проделано n независимых наблюдений, в которых получены результаты Х1, Х2, …, Хn, а над величиной У проделано m независимых наблюдений и получены значения У1, У2, …,Уm. Предположим, что известны дисперсии D(X) = 12 и D(У) = 22, но неизвестны математические ожидания М(Х) = а1 и М(У) = а2. Пусть, кроме того, каждая серия состоит из достаточно большого числа наблюдений (хотя бы несколько десятков в каждой серии). Построим критерий для проверки по результатам наблюдений гипотезы о том, что а1 = а2.

Предположим, что гипотеза верна. Так как серии опытов достаточно велики, то для средних арифметических имеем приближенные равенства Х а1 и У а2. Если гипотеза верна, то Х У и величина Х У должна быть относительно малой. Напротив, большие значения этой величины плохо согласуются с гипотезой. Поэтому критическую область составят те серии наблюдений, для которых Х У С, где С – некоторая постоянная величина.

Свяжем эту постоянную С с уровнем значимости. Согласно центральной предельной теореме каждая из величин Х и У распределена приблизительно нормально, как сумма большого числа одинаково распределенных независимых случайных величин с ограниченными дисперсиями. С учетом того, что М( Х ) = М(Х) и D( Х ) = D(X)/n, можно утверждать, что Х имеет распределение N(a1, 12 /n), a У - распределение N(a2, 22 /m). Из факта устойчивости нормального закона распределения можно заключить, что при верной гипотезе Х -У тоже имеет нормальный закон распределения с параметрами М( Х -У ) = a1 - a2 = 0 и D( Х -У ) = 12 /n + 22 /m.

Запишем для нормального закона распределения N(0, 12 /n + 22 /m) стандартную формулу (3.17):

–  –  –

Замечание. Критерий (5.10) можно использовать и при небольшом числе наблюдений в каждой серии, но только при условии, что Х и У имеют нормальные законы распределения с известными дисперсиями. В этом случае нормальность распределения средних арифметических результатов наблюдений следует не из центральной предельной теоремы, а из факта устойчивости нормального закона распределения (сумма независимых нормально распределенных величин тоже имеет нормальнй закон распределения).

–  –  –

= 0,6 0,85, то сомневаться в том, что измерялась одна и та же постоянная величина, оснований нет. Расхождения в значениях средних арифметических можно объяснить ошибками измерений.

–  –  –

Пусть Х непрерывная случайная величина, а m - значение ее медианы, т.е. Р(Х m) = P(X m) =. Проделано n независимых наблюдений над случайной величиной. Можно ли считать по их результатам Х1, Х2, …,Хn, что значение медианы равно mо против альтернативы, что значение медианы равно m1 (для определенности пусть m1 mо)?

Предположим, что значение m действительно равно mо (т.е. верна нулевая гипотеза Но: m = mо) и рассмотрим последовательность величин Х1 - mо, Х2 - mо, …,Хn - mо.

Если гипотеза верна, то Р(Х - mо 0 ) = Р(Х - mо 0 ) =. Подсчитаем число положительных разностей Х - mо в нашей выборке и обозначим его через S.

n

–  –  –

образуют критическую область наиболее мощного критерия. Так же как и в примере 1 из раздела 5.3 легко показать, что в критическую область следует относить в первую очередь самые маленькие значения k. Остается только k

–  –  –

Задачи для самостоятельного решения

1. Для сравнения точности двух манометров были произведено несколько измерений каждым из них давления в камере промышленной установки. По результатам 36 независимых измерений первым манометром были получены оценки Х 1 = 15,43 и s12 = 0,2. Результаты 25 независимых измерений вторым манометром дали оценки Х 2 = 15,30 s 2 = 0,15. При уровне значимости 0,05 можно ли и расхождение в средних арифметических объяснить случайными ошибками измерений, или это расхождение говорит о разной юстировке приборов?

Ответ: Величина расхождения 15,43 – 15,30 = 0,13 случайными ошибками объяснена быть не может.

2. Произведены независимые наблюдения над случайными величинами, имеющими нормальные законы распределения с одинаковыми дисперсиями, равными 0,16.

Наблюдения над первой величиной дали результаты: Х1 = 15,3; Х2 = 14,8; Х3 = 15,1;

Х4 = 15,1; Х5 = 15,2; Х6 = 15,1; Х7 = 15,0; Х8 = 15,2; Х9 = 15,1. У второй случайной величины реализовались значения: У1 = 15,2; У2 = 15,0; У3 = 15,4;

У4 = 15,2; У5 = 15,3; У6 = 15,1; У7 =15,2; У8 = 15,6; У9 = 15,3.

При уровне значимости = 0,05 можно ли считать, что наблюдаемые случайные величины имеют разные математические ожидания?

Ответ: Расхождения в средних арифметических можно объяснить случайными результатами наблюдений. Утверждать, что наблюдаемые случайные величины имеют непременно разные математические ожидания, нет оснований.

–  –  –

4. Два пресса штампуют детали одного наименования. Из 1000 деталей, изготовленных первым прессом, 92 оказались низкого качества. Из 600 деталей, изготовленных вторым прессом, низкое качество имели 49. При уровне значимости 0,05 можно ли считать, что доля низкокачественных деталей в продукции этих прессов одинакова?

Ответ: Да

6. Статистическое моделирование

6.1. Понятие о случайных числах Численные методы решения математических задач при помощи случайных чисел называют методом Монте-Карло. Название происходит от города Монте-Карло, знаменитого своим игорным домом, и связано с тем, что игральная рулетка является одним из простейших устройств для получения случайных чисел.

Напишем на десяти одинаковых бумажках цифры 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Положим их, например, в урну, перемешаем, и будем извлекать по одной, после каждого извлечения возвращая бумажку назад и снова перемешивая бумажки. Получаемые таким способом числа называют случайными числами. Так как при каждом извлечении равновозможен выбор любой бумажки, то мы имеем дело со случайной величиной, имеющей закон распределения Х0 1 2... 9 Р 0,1 0,1 0,1... 0,1 Если числа по ходу их получения записывать, то получим так называемую таблицу случайных чисел. Фрагмент такой таблицы дан в приложении (табл.5). При наличии такой таблицы для получения случайных чисел нет необходимости прибегать к эксперименту с урной и бумажками.

Достаточно ткнуть пальцем наугад в таблицу и от этого места начинать считывать цифры. Так как при извлечении бумажек мы имели дело с независимыми опытами, то вероятность, ткнув пальцем в таблицу, встретить две заданные цифры подряд равна 0,1 0,1 = 0,01, т.е равновозможна любая из ста комбинаций 00, 01, 02, …, 99. Для трех заданных цифр подряд эта вероятность равна 0,10,10,1=0,001. Получить n заданных цифр подряд можно с вероятностью (0,1) n.

Способ получения случайных чисел посредством урны и бумажек, хотя и наглядно демонстрирует суть дела, слишком трудоемок, если случайных чисел нужно десятки тысяч. Существуют специальные компьютерные программы для получения случайных чисел. Эти программы называют датчиками случайных чисел.

З а м е ч а н и е. Получать числа, по своим свойствам близкие к случайным, можно различными способами. Если записать, скажем, число в виде бесконечной десятичной дроби, то полученная запись, за исключением нескольких первых известных всем цифр, не будет отличаться от последовательности случайных чисел. В качестве случайных чисел можно использовать, например, последние цифры многозначных таблиц логарифмов или других функций. Такие числа, которые по своим свойствам ничем не отличаются от случайных чисел, называют псевдослучайными числами. Компьтерные датчики выдают фактически именно псевдослучайные числа.

6.2. Моделирование случайных величин С помощью случайных чисел можно моделировать любые случайные величины. Проще всего моделировать случайную величину с равномерным распределением на отрезке [0, 1]. Для этого выберем из таблицы (см.

приложение, табл.5) наугад N случайных чисел i, i = 1, 2, …, N, запишем перед ними ноль и запятую. Получим десятичную дробь = 0, 1 2 … N.

Каждой такой случайной дроби соответствует точка на отрезке [0, 1] и в силу свойств случайных чисел каждая из 10 N таких дробей равновозможна. При достаточно больших N распределение практически не отличается от равномерного распределения на отрезке [0,1]. Выбор каждой такой десятичной дроби эквивалентен выбору случайной точки на этом отрезке.

Итак, с помощью случайных чисел можно моделировать такое бросание точки, что равновозможно ее попадание в любую точку отрезка [0, 1]. Такие точки будем в последующем называть случайными точками. Компьютер без видимой работы со случайными числами сразу выдает такие случайные точки.

Пусть теперь нам необходимо получать значения дискретной случайной величины Х с распределением

–  –  –

Станем в отрезок [0, 1] бросать случайные точки. При попадании точки в отрезок с номером i считаем, что случайная величина приняла значение, равное хi. Согласно геометрическому определению вероятности значение Х = хi будет появляться с вероятностью

–  –  –

что согласуется с заданным законом распределения.

Пусть теперь Х непрерывная случайная величина с функцией распределения F(x). Для получения значений этой случайной величины на отрезок [0,1], расположенный на вертикальной оси, будем бросать случайные точки. Если случайная точка попала в точку (см. рис. 6.2), то полагаем, что случайная величина X приняла значение х.

–  –  –

Формально это означает, что реализовалось значение случайной величины х = F-1(). Из этого следует, что для получения значений случайной величины с законом распределения F(х) нужно вычислять значения функции, обратной к F(х), в случайных точках на отрезке [0,1]. Из рис. 6.2 видно, что если в соответствии с законом распределения F(х) интервалу (a, b) соответствует вероятность P(a X b) = р, то именно с такой вероятностью случайная точка будет попадать в интервал (a, b) и именно с такой вероятностью попучаемые значения случайной величины будут попадать в интервал (a, b), что согласуется с функцией распределения F(х).

6.3. Решение математических задачс помощью случайных чисел

Прежде всего отметим, что располагая способом моделировать бросание случайной точки в отрезок [0,1], мы имеем возможность моделировать бросание случайной точки в квадрат со стороной, равной единице, в куб с ребром, равным единице и т.д. Для этого нужно каждую координату точки выбирать как случайную точку на отрезке [0,1]. Например, для выбора случайной точки (, ) в квадрате выбираем случайные точки и соответственно на горизонтальной и на вертикальной сторонах квадрата.

Для метода Монте-Карло важным является то обстоятельство, что при таком способе выбора случайной точки в квадрате (кубе и т. д.) равновозможен выбор любой точки этого квадрата (куба и т. д.).

Рассмотрим на простейших примерах применение метода Монте-Карло для решения математических задач. Предположим, что нам необходимо b

–  –  –

Рис. 6.3 Если это необходимо, то изменим масштаб (или даже перейдем к новой системе координат), чтобы указанная криволинейная трапеция целиком поместилась в квадрат со стороной, равной единице. В новом масштабе ее площадь обозначим через S1 (рис. 6.4).

У

–  –  –

Бросим в квадрат n случайных точек. Пусть k из них попали в заштрихованную область. При достаточно больших n частота k / n будет приблизительно равна вероятности попадания в заштрихованную область. А эта вероятность как раз и равна S1 в силу геометрического определения

–  –  –

Пусть f (x) - плотность вероятности равномерного распределения на отрезке [0,1]. Это означает, что f (x) =1 при х [0,1] и f (x) = 0 вне отрезка [0,1]. Тогда

–  –  –

где Х – случайная величина с равномерным распределением на [0,1]. Для оценки математического ожидания можно использовать среднее арифметическое наблюдаемых значений случайной величины. Оценку М[(X)] производим следующим образом. Бросаем в отрезок [0,1] случайные точки 1, 2, 3,..., n и вычисляем (1), (2 ),...,( n ).

Тогда при достаточно больших n

–  –  –

Естественно, что и в этом случае можно оценить точеость полученной величины.

Из двух приведенных примеров применения метода Монте-Карло можно понять его основную идею: изобретается такая случайная величина, математическое ожидание которой равно искомой величине, а затем эту случайную величину моделируют с помощью случайных чисел и оценивают ее математическое ожидание по наблюдаемым значениям.

Разумеется, для получения приемлемой точности и надежности результатов нужно использовать большое число случайных точек, что под силу только компьютеру. Этим объясняется то, что метод Монте-Карло получил распространение только с изобретением электронных вычислительных машин, хотя его теоретические основы были известны давно.

Следует заметить, что метод Монте-Карло удобен для программирования и реализации на компьтерах, так как связан с многократным повторением одной и той же операции выбора случайных точек.

Конечно простые интегралы, приведенные в примерах, можно вычислять и каким либо другим приближенным методом. Однако при вычислении nкратных интегралов метод Монте-Карло оказывается предпочтительнее, а при больших n и единственно возможным. Это связано с тем, что при приближенном вычислении n-кратного интеграла приходится разбивать область интергирования, скажем на N частей по каждой координате. В результате приходится посчитывать значения подынтегральной функции в (N) n точках. При вычислениях по методу Монте – Карло для выбора, например, N1 случайной точки в n- мерном кубе необходимо в качестве их координат nN1 раз выбрать случайную точку в отрезке [0,1]. В первом случае трудоемкость вычислений при увеличении n растет стремительно как показательная функция, во втором – как линейная функция.

Методом Монте – Карло можно решать интегральные и дифференциальные уравнения и вообще любую математическую задачу, если только найден способ придать искомой величине вероятностный смысл.

6.4. Моделирование случайных процессов

Умение моделировать случайные величины позволяет моделировать любой процесс, на протекание которого влияют случайные факторы.

Моделирование можно использовать для изучения сложных стохастических систем и случайных процессов. Например, системы и сети массового обслуживания, процессы управления запасами, технологические процессы.

Если не удается произвести аналитический расчет характкристик таких систем, то работу их моделируют на компьютере и реализации работы обрабатывают статистически с целью оценки характеристик изучаемых систем.

Продемонстрируем возможности моделирования на примере простой системы массового обслуживания. Пусть имеется один обслуживающий прибор (канал связи, станок, касса и т д.) На прибор поступает поток заявок на обслуживание или требований, которые приходят в случайные моменты времени. Пусть интервалы между моментами прихода требований независимы и имеют функцию распределения А(х). Каждое требование занимает прибор на случайное время, которое не зависит от времени обслуживания других требований и имеет функцию распределения В(х).

Если требование застает прибор занятым, то оно становится в очередь и обслуживается затем в порядке очереди. Необходимо определить характеристики такой системы. Например, найти среднее время ожидания в очереди, среднюю длину очереди, долю времени простоя системы и т.д.

Задача расчета характеристик описанной системы для произвольных распределений А(х) и В(х) очень трудна и в явном виде незазрешима, несмотря на видимую простоту условий. Незаменимым средством в этом случае становится метод статитстического моделирования. С помощью распределения А(х) и случайных чисел моделируется последовательность значений Х1, Х2, …, Хn - длины интервалов между моментами поступления требований в систему. Затем с помощью распределения В(х) моделируется последовательность значений У1, У2, …, Уn - длительности обслуживания поступающих требований. Это позволяет построить реализацию работы системы (см. рис. 6.5).

Рис. 6.5

Пусть построена реализация работы системы за время Т. По ней можно оценить все интересующие нас характеристики ситемы. Например, для определения доли времени простоя системы нужно по реализации работы системы измерить u1, u2, … - длины отрезков времени, когда система была свободна, и разделить их сумму на Т. В результате получим оценку доли времени простоя системы в виде ui/T. Если Т достаточно велико, то такая оценка обеспечит высокие точность и надежность результата. Для истинной доли времени простоя системы, которая является вероятностью застать прибор свободным, можно постороить доверительный интервал.

Определив по реализации работы время ожидания каждого из требований и взяв их среднее арифметическое, можно получить представление о времени ожидания в этой системе. Разумеется, все оценки должны сопровождатьсяч указанием их точности и надежности, для чего необходимо привлечение методов математической статистики.

Реализация работы системы на рис. 6.5 построена лишь для наглядности. Получение надежных результатов возможно только при обработке реализаций большой длины. На самом деле компьютер без всякого построения производит непосредственную обработку последовательностей значений Х1, Х2, …, Хn и У1, У2, …, Уn по заданному алгоритму.

–  –  –

0,0 3989 3989 3988 3986 3984 3982 3980 3977 3973 0,3989 0,1 3970 3965 3961 3956 3951 3945 3939 3932 3925 3918 0,2 3910 3902 3894 3885 3876 3867 3857 3847 3836 3825 0,3 3814 3802 3790 3778 3765 3752 3739 3726 3712 3797 0,4 3683 3668 3653 3637 3621 3605 3589 3572 2555 2538 0,5 3521 3503 3485 3467 3448 3429 3410 3391 3372 3352 0,6 3332 3312 3292 3271 3251 3230 3209 3187 3166 3144 0,7 3123 3101 3079 3056 3034 3011 2989 2966 2943 2920 0,8 2897 2874 2850 2827 2803 2780 2756 2732 2709 2685 0,9 2661 2637 2613 2589 2565 2541 2526 2492 2468 2444 1,0 2396 2371 2347 2323 2299 2275 2251 2227 2203 0,2420 1,1 2179 2155 2131 2107 2083 2059 2036 2012 1989 1965 1,2 1942 1919 1895 1872 1849 1826 1804 1781 1758 1768 1,3 1714 1691 1669 1647 1626 1604 1582 1561 1539 1518 1,4 1497 1476 1456 1435 1415 1394 1374 1454 1334 1315 1,5 1295 1276 1257 1238 1219 1200 1182 1163 1145 1127 1,6 1108 1092 1074 1057 1040 1023 1006 0989 0973 0957 1,7 0940 0925 0909 0893 0878 0863 0848 0833 0818 0804 1,8 0790 0775 0761 0748 0734 0721 0707 0694 0671 0669 1,9 0656 0644 0632 0620 0608 0596 0584 0573 0562 0551 2,0 0,0540 0529 0519 0508 0498 0488 0478 0468 0659 0449 2,1 0440 0431 0422 0413 0404 0396 0387 0379 0371 0363 2,3 0283 0277 0270 0264 0258 0252 0246 2041 0235 2029 2,4 0224 0219 0213 0208 0203 0198 0194 0189 0184 0180 2,5 0175 0171 0167 0163 0158 0154 0151 1047 0143 0139 2,6 0136 0132 0129 0126 0122 0119 0116 0113 0110 0107 2,7 0104 0101 0099 0096 0093 0091 0088 0086 0084 0081 2,8 0079 0077 0075 0073 0071 0069 0067 0065 0063 0061 2,9 0060 0058 0056 0055 0053 0051 0050 0048 0047 0046 3,0 0,0044 0043 0042 0040 0039 0038 0037 0036 0035 0034 3,1 0033 0032 0031 0030 0029 0028 0027 0026 0025 0025 3,2 0024 0023 0022 0022 0021 0020 0020 0019 0018 0018 3,3 0017 0017 0016 0016 0015 0015 0014 0014 0013 0013 3,4 0012 0012 0012 0011 0011 0010 0010 0010 0009 0009 3,5 0009 0008 0008 0008 0008 0007 0007 0007 0007 0006 3,6 0006 0006 0006 0005 0005 0005 0005 0005 0005 0004 3,7 0004 0004 0004 0004 0004 0004 0003 0003 0003 0003 3,8 0003 0003 0003 0003 0003 0002 0002 0002 0002 0002 3,9 0002 0002 0002 0002 0002 0002 0002 0002 0001 0001

–  –  –

0,0 0,0000 0040 0080 0120 0160 0199 0239 0279 0320 0359 0,1 0398 0438 0478 0517 0557 0596 0636 0675 0714 0754 0,2 0793 0832 0971 0910 0948 0987 1026 1064 1103 1141 0,3 1179 1217 1255 1293 1331 1368 1406 1443 1480 1517 0,4 1554 1591 1628 1664 1700 1736 1772 1808 1844 1879 0,5 1915 1950 1985 2019 1054 1088 2123 2157 2190 2224 0,6 2258 2291 2324 2357 2389 2422 2454 2486 2518 2549 0,7 2580 2612 2642 2673 2704 2734 2764 2794 2823 2852 0,8 2881 2910 1939 2967 2996 3023 3051 3079 3106 3133 0,9 3159 3186 3212 3238 3264 3289 3315 3340 3365 3389 1,0 3413 3438 3461 3485 3508 3531 3554 3577 3599 3621 1,1 3643 3665 3686 3708 3729 3749 3770 3790 3810 3830 1,2 3849 3869 3888 3907 3925 3944 3962 3980 3997 4015 1,3 4032 4049 4066 4082 4099 4115 4131 4147 4162 4177 1,4 4192 4207 4222 4236 4251 4265 4279 4292 4306 4219 1,5 4332 4345 4257 4276 4282 4294 3306 3318 4429 4441 1,6 4452 4463 4474 4485 4495 4505 4515 4525 4535 4545 1,7 4554 4564 4573 4582 4591 4599 4608 4616 4625 4633 1,8 4641 4649 4656 4664 4671 4678 4686 4693 4699 4706 1,9 4713 4719 4726 4732 4738 4744 4750 4756 4762 4767 2,0 4773 4778 4783 4788 4793 4798 4803 4808 4812 4817 2,1 4821 4826 4830 4834 3838 3842 4846 4850 4854 4857 2,2 4861 4865 4868 4871 4875 4878 4881 4884 4887 4890 2,3 4893 4896 4898 4901 4904 4906 4909 4911 4913 4916 2,4 4918 4920 4922 4925 4927 4929 4931 4932 4934 4936 2,5 4938 4940 4941 4943 4945 4946 4948 4949 4951 4952 2,6 4953 4955 4956 4957 4959 4960 4961 4962 4963 4964 2,7 4965 4966 4967 4968 4969 4970 4971 4972 4973 4974 2,8 4974 4975 4976 4977 4977 4978 4979 4980 4980 4981 2,9 4981 4982 4983 4983 4984 4984 4985 4985 4985 4986 3,0 0,49865 3,1 0,4990 3,2 0,4993 3,3 0,4995 3,4 0,4996 3,5 0,49977 3,6 0.49984 3,7 0,49989 3,8 0,49993 3,9 0,49995 4,0 0,499968 4,5 0,499997 5,0 0,49999997

–  –  –

1 6,314 12,706 31,821 53,657 2 2,920 4,303 6,965 9,925 3 2,353 3,182 4,541 5,841 4 2,132 2,776 3,747 4,604 5 2,015 2,571 3,365 4,032 6 1,943 2,447 3,143 3,707 7 1,895 2,365 2,998 3,499 8 1,860 2,306 2,896 3,355 9 1,833 2,262 2,821 3,250 10 1,812 2,228 2,764 3,169 12 1,782 2,179 2,681 3,055 14 1,761 2,145 2,624 2,977 16 1,746 2,120 2,583 2,921 18 1,734 2,101 2,552 2,878 20 1,725 2,086 2,528 2,845 22 1,717 2,074 2,508 2,819 30 1,697 2,042 2,457 2,750 1,645 1,960 2,326 2,576

–  –  –

1 1,64 2,71 3,84 5,41 6,64 10,83 2 3,22 4,60 5,99 7,82 9,21 13,82 3 4,64 6,25 7,82 9,84 11,34 16,27 4 5,99 7,78 9,49 11,67 13,28 18,46 5 7,29 9,24 11,07 13,39 15,09 20,5 6 8,56 10,64 12,59 15,03 16,81 22,5 7 9,80 12,02 14,07 16,62 18,48 24,3 8 11,03 13,36 15,51 18,17 20,1 26,1 9 12,24 14,68 16,92 19,68 21,7 27,9 10 13,44 15,99 18,31 21,2 13,2 19,6 11 14,63 17,28 19,68 22,6 24,7 31,3 12 15,81 18,55 21,0 24,1 26,2 32,9

Pages:     | 1 ||



Похожие работы:

«Практический маркетинг. 2012. № 12. С. 33-48. Н.С. Мартышенко, Е.Е. Катриченко УСЛОВИЯ И ТЕНДЕНЦИИ РАЗВИТИЯ МЕЖДУНАРОДНОГО ТУРИЗМА В ЮЖНОЙ КОРЕЕ В работе рассматриваются условия и тенденции развития международного туризма в Южной Корее. Приведен анализ осн...»

«Center of Scientific Cooperation Interactive plus УДК 821.581 DOI 10.21661/r-114934 К.Е. Барабошкин ВАН ЧУН (I В. Н. Э.) О ПРОИСХОЖДЕНИИ ЗНАНИЯ И ЕГО ВЫРАЖЕНИИ В ЛИТЕРАТУРЕ Аннотация: в данной ста...»

«Татьяна Корниец ПОСВЯЩАЕТСЯ замечательным людям, с которыми меня свела судьба, в служении театру. Что было — то было Центрально-Украинское издательство Кропивницкий ББК 85.333(4Рос) 6 УДК 792.03(477) К 67 Корниец Т. И.К 6...»

«КОЛЛЕКТИВНЫЕ ДЕЙСТВИЯ ПОЕЗДКИ ЗА Г О Р О Д 2–3 БИБЛИОТЕК А МОСКОВСКОГО КОНЦЕПТ УА ЛИЗМА ГЕРМАНА ТИТОВА КОЛЛЕКТИВНЫЕ ДЕЙСТВИЯ А. МОНАСТЫРСКИЙ, Н. ПАНИТКОВ, Н. АЛЕКСЕЕВ, И. МАКАРЕВИЧ, С. РОМАШКО, Е. ЕЛАГИНА, Г. КИЗЕВАЛЬТЕР ПОЕЗДКИ З...»

«Номер: KZ46VDC00049877 Дата: 17.06.2016 "Шыыс азастан облысы Государственное учреждение табии ресурстар жне "Управление природных ресурсов табиат пайдалануды реттеу и регулирования басармасы" природопользования мемлекеттік мекемесі Восточно-Казахстанской области" азастан Республикасы, ШО Ре...»

«СПИУМЫЙ ОКМ "ЛегаУон-Когйн с модемом ЦЛЙ" єля абонентов ђоронезской, Кйпецкой, ёелгородской й Самбовской областей. єействует на всей лйценийонной террйторйй действйя сетй Йавкаиского фйлйала НН "ЛегаУон". Оодключенйе пройиводйтся на федеральную нумерацйю. Сарйфный план иакрыт для новых подключенйй й переход...»

«Пояснительная записка Направленность программы Проблема развития творческой личности в современном обществе особенно актуальна, учитывая специфичность сегодняшней действит...»

«3 Оглавление Введение..3 Глава 1. Восстановительные средства и мероприятия в спорте 1.1. Классификация восстановительных средств и мероприятий в спорте. 1.2.Анализ программ подготовки в бадмин...»

«Задача 1. Внимательно прочитайте текст ситуационной задачи и поставьте предварительный диагноз, проведите дифференциальную диагностику; определите объем НМП и тактику фельдшера на догоспитальном этапе в соответствии с алгоритмами ССиНМП г. Москвы; Первичный вызов бригады ССиНМП к мужчине 48 лет. Повод к вызову: головна...»

«разработка программного обеспечения Облако SiteRemote 3 Удаленное управление SaaS Программное обеспечение для удаленного мониторинга и управления терминалом SiteRemote – это программный прод...»

«ДЕПАРТАМЕНТ ТРУДА И СОЦИАЛЬНОЙ ПОДДЕРЖКИ НАСЕЛЕНИЯ ЯРОСЛАВСКОЙ ОБЛАСТИ Оценка эффективности деятельности руководителей учреждений социального обслуживания Ярославской области, работников из числа основного персонала и внедрение эффективных контрактов СБОРНИК МЕТОД...»

«СООБЩЕНИЯ ДАЛЬНЕВОСТОЧНОГО ЦЕНТРА ВЕДИЧЕСКОЙ АСТРОЛОГИИ Владивосток Вассерман Анатолий Ведический Гороскоп FEVAC Как вас зовут Вассерман Анатолий Время рождения 09.12.1952 03:30 Место рождения Одесса 30 44 в.д. 46 28 с.ш. Координаты Гринвич 3 Номер...»

«Мираж-GSM-A8-01 Краткое руководство по эксплуатации аГНС.425644.019 рЭ Научно-производственное предприятие “СТЕЛС” редакция от 16.01.2013 Объектовые приборы серии "Мираж Приват" предназначены для охранно-пожарного мониторинга недвижимости с передачей тревожных и системных сообщений на мобильные телефоны пользователей. Приборы отличаются пр...»

«.^ i/f c f Сс, f ( С' f i ГЛАВНО Е УП РА ВЛЕН И Е ГИ ДРО М ЕТЕО РО Л О ГИ ЧЕСКО Й СЛУЖ БЫ П РИ СОВЕТЕ М И НИСТРОВ СССР О Р Д Е Н А Т РУ Д О В О ГО КРА С Н О ГО ЗН А М ЕН И ГЛА ВН А Я ГЕО Ф И ЗИ ЧЕСК А Я ОБСЕРВАТОРИЯ им. А. И. ВОЕЙКОВА ТР у д ы ВЫПУСК 357 АКТИНОМЕТРИЯ АТМ...»

«Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение "Средняя общеобразовательная школа №4" МЕТОДИЧЕСКАЯ РАЗРАБОТКА ПУТЬ В ПРОФЕССИЮ Автор: Кондакова Надежда Юрьевна классный руководитель 9 "А"...»

«АКУШЕРСКАЯ АНЕСТЕЗИОЛОГИЯ Новости Е. М. Шифман Всероссийский образовательный форум Теория и практика анестезии и интенсивной терапии в акушерстве и гинекологии В работе форума примут уча...»

«т РОССИЙСКИЙ НАУЧНЫЙ ЦЕНТР НУРЧАТОВСНИЙ 4*8 ИНСТИТУТ ИАЭ-6459/4 Н.Н. Пономарев-Степной, L.C. 1 лушков, Г.В. Компанией, В.й. Носов, Е.й. Чуниев Е.В. Бурлаков, 15.М. Качанов, В.Е. Житарев В.А. Павшук, А.С. Каминский, Е.С. Субботин ФИЗИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ РЕАКТОРНОГО ГРАФИТА...»

«ШКОЛА УСПЕШНОГО ТРЕЙДЕРА. КУРС ЛЕКЦИЙ 3 КУРС 3 КУРС – УМЕЛЫЙ ТРЕЙДЕР ОГЛАВЛЕНИЕ ВВЕДЕНИЕ 7. ТЕОРИЯ ХАОСА – НОВОЕ ИЗМЕРЕНИЕ В ТОРГОВЛЕ 8. ТЕОРИЯ И ПРАКТИКА МЕТОДА PROFITUNITY БИЛЛА ВИЛЬЯМСА. 10 8.1. Уровень первый: трейдер-новичок ДОЛГОСРОЧНОЕ ДВИЖЕНИЕ Тренды ИНДЕКС ОБЛЕГЧЕНИЯ РЫНКА (MFI) ОКНА PROFITUNITY Тиковый Объем / M...»

«© Зимин Виктор Михайлович Восторг. Избранные стихи. ДЮЖИНА. По галечной тропе, По руслам бывших рек Иду-бегу к тебе, Мой милый человек. Ты очень далека, Когда представить путь. Но – вот моя рука И ряд...»

«ПАРАЗИТОЛОГИЯ, IV, 2,1970 К 100-ЛЕТИЮ СО ДНЯ РОЖДЕНИЯ В. И. ЛЕНИНА Отмечая столетие со дня рождения Владимира Ильича Ленина и в связи с этой знаменательной датой оценивая его роль в становлении советской науки, нельзя не восторгаться той необычайн...»

«КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА №4 ВАРИАНТ 1 1. Амплитуда гармонических колебаний точки А = 5 см, амплитуда скорости max = 7,85 см/c. Вычислить циклическую частоту колебаний и максимальное ускоре...»

«ОРЛОВСКІЯ Епархіальныя Вдомости, н з д ш е при ш д ш ш іі ш ш ш н. т т Л Х І годъ. Ь ЛЛ Л г * ^Годовая цна сі 4 Изданіе У Ч е ж е н е д. л ь. н_Уу „ ое.у с( "(ресылкою 6 р. 21-го марта 1910 года ОТДЪ Л Ъ ОФФИЦІАЛЬНЫЙ. Къ сему № п...»

«“Группа” Все прогуливаются по комнате, и кто-то выкрикивает фразу, сообщающую об опасности. “Внимание! На нас напали пещерные львы! (или что-либо другое)” После сигнала опасности участники игры должны немедле...»

«Содержание: 1. Пояснительная записка 2. Календарно – тематическое планирование 3. Литература 1. Пояснительная записка Данная рабочая программа учитывает: 1. Федеральный закон от 29.12.2012 г № 273 – ФЗ "Об образовании в Российской Федерации"2. Закон Республики Хакасия от 22.10.2013 № 85-ЗР...»

«MG 140 o Массажная подушка шиацу RUS Инструкция по применению Beurer GmbH • Sflinger Str. 218 • 89077 Ulm (Germany) Tel. +49 (0) 731 / 39 89-144 • Fax: +49 (0) 731 / 39 89-255 www.beurer.de • Mail: kd@beurer.de РУССКИЙ Объем поставки • Массажная подушка шиацу • Съемный чехол • Блок питания •...»

«Проект ГЛАВНЫЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ САНИТАРНЫЙ ВРАЧ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ПОСТАНОВЛЕНИЕ от "" _2016 г. № _ Об утверждении СанПиН 2.2.4. -16 В соответствии с Федеральным законом от 30.03.1999 № 52-ФЗ "О санитарно-эпид...»

«Zhurnal grazhdanskogo i ugolovnogo prava, 2014, Vol. (2), № 2 Copyright © 2014 by Academic Publishing House Researcher Published in the Russian Federation Zhurnal grazhdanskogo i ugolovnogo prava Has been issued since 1871. ISSN 2409-4528 Vol. 2, No. 2, pp. 67-71,...»

«1 ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА В жизни современного человека информация играет огромную роль, даже поверхностный анализ человеческой деятельности позволяет с полной уверенностью утверждать: наиболее эффективным и удобным для восприятия видом информации была, есть и в обозримом будущем будет информа...»

«Приложение к решению Московской трехсторонней комиссии по регулированию социально­ трудовых отношений от 17 ноября 2015 года МОСКОВСКОЕ ТРЕХСТОРОННЕЕ СОГЛАШЕНИЕ на 2016-2018 годы между Правительством Москвы, московскими объединениями профсоюзов и московскими объединениями работодателей Договаривающиес...»

«Сергей Есенин Анна Снегина А. Воронскому Село, значит, наше — Радово, Дворов, почитай, два ста. Тому, кто его оглядывал, Приятственны наши места. Богаты мы лесом и водью, Есть пастбища, есть поля. И по всему угодью Рассажены тополя. Мы в важные очень не лезем, Но все же нам счастье дано. Дворы у нас крыты...»









 
2017 www.book.lib-i.ru - «Бесплатная электронная библиотека - электронные ресурсы»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.