WWW.BOOK.LIB-I.RU
БЕСПЛАТНАЯ  ИНТЕРНЕТ  БИБЛИОТЕКА - Электронные ресурсы
 

«Операции над комплексными числами Комплексные числа и действия над ними Лекция 1 Л. И. Лазарева, И. А. Цехановский Курс: Ряды и комплексный анализ Семестр 3, 2009 год portal.tpu.ru ...»

Операции над комплексными числами

Комплексные числа и действия над

ними

Лекция 1

Л. И. Лазарева, И. А. Цехановский

Курс: Ряды и комплексный анализ

Семестр 3, 2009 год

portal.tpu.ru

Операции над комплексными числами

Комплексным числом z называется упорядоченная пара

действительных чисел z = (x, y ) с определенными ниже

операциями над ними. Первое число пары x называется

действительной частью комплексного числа z и обозначается

x = Re z; второе число пары y называется мнимой частью числа z и обозначается y = Im z.

Два комплексных числа z1 = (x1, y1 ) и z2 = (x2, y2 ) равны тогда и только тогда, когда равны их действительные и мнимые части.

Множеству комплексных чисел z можно взаимно однозначно сопоставить точки плоскости (xOy ) c декартовыми координатами x, y. Такую плоскость в дальнейшем будем называть комплексной плоскостью, ось абсцисс – действительной, а ось ординат – мнимой осью комплексной плоскости.

Операции над комплексными числами В свою очередь, каждой точке (x, y ) соответствует вполне определенный вектор – радиус-вектор этой точки, а каждому радиус-вектору, лежащему в плоскости, – вполне определенная точка – его конец. Поэтому будем в дальнейшем комплексные числа представлять также в Рис. 1 виде векторов на плоскости (рис. 1).

Геометрическое представление комплексных чисел показывает, что при сравнении двух комплексных чисел z1 и z2 понятия больше и меньше теряют смысл, и наглядно иллюстрирует, что равенство двух комплексных чисел z1 = z2 всегда подразумевает два равенства действительных чисел: x1 = x2, y1 = y2.

Операции над комплексными числами

1. Сложение Суммой комплексных чисел z1 = (x1, y1 ) и z2 = (x2, y2 ) называется комплексное число z = (x1 + x2, y1 + y2 ). (1) Данное определение сводит операции сложения комплексных чисел к операции сложения двух действительных чисел. Из определения вытекают следующие законы сложения:

а) коммутативность z1 + z2 = z2 + z1,

б) ассоциативность (z1 + z2 ) + z3 = z1 + (z2 + z3 ).

Сложение допускает обратную операцию: для двух комплексных чисел z1 = (x1, y1 ) и z2 = (x2, y2 ) можно найти такое число z, что z2 + z = z1. Такое число z называется разностью чисел z1 и z2 и обозначается символом z = z1 z2.

Очевидно, что z = z1 z2 = (x1 x2, y1 y2 ). (2) Операции над комплексными числами

1. Сложение Можно показать, что существует единственное комплексное

–  –  –

Из определения вытекают следующие законы умножения:

а) коммутативность z1 · z2 = z2 · z1 ;

б) ассоциативность z1 (z2 z3 ) = (z1 z2 )z3 ;

в) дистрибутивность (z1 + z2 )z3 = z1 z3 + z2 z3.

Любое действительное число x можно считать комплексным числом (x, 0). Точнее, подмножество комплексных чисел вида (x, 0) взаимно однозначно соответствует множеству вещественных чисел (с сохранением арифметических операций). В дальнейшем будем отождествлять эти числа и записывать x = (x, 0).

Операции над комплексными числами

2. Умножение

Умножение на действительную единицу 1 = (1, 0) не меняет комплексного числа 1 · z = z.

Комплексное число вида z = (0, 1) называется мнимой единицей и будет обозначаться символом i = (0, 1). Несложно убедиться, что i · i = i 2 = (0, 1)(0, 1) = (1, 0) = 1.

Комплексное число вида z = (0, y ) называется чисто мнимым числом. Легко установить, что чисто мнимое число (0, y ) можно рассматривать как произведение мнимой единицы i = (0, 1) и действительного числа y = (y, 0), т.е. (0, y ) = iy.





Мнимая единица позволяет придать прямой алгебраический смысл так называемой алгебраической форме записи комплексных чисел. Действительно, z = (x, y ) = x(1, 0) + y (0, 1) = x + iy. (4) В результате операции сложения и умножения комплексных чисел можно проводить по правилам алгебры многочленов, не обращаясь каждый раз непосредственно к определениям (1) и (3).

Операции над комплексными числами

2. Умножение Наряду с алгебраической формой комплексных чисел (4) удобно использовать и так называемую тригонометрическую форму. Для этого напомним, что точку на плоскости можно задавать не только декартовыми, но и полярными координатами (, ) (см. рис. 1). Причем x = cos, y = sin. Подставив x, y в (2), получим

–  –  –

Модуль комплексного числа z равен нулю тогда и только тогда, когда z = 0.

Операции над комплексными числами

2. Умножение Непосредственно из рис. 2 видно, что для модуля комплексного числа z справедливы неравенства |x| = | Re z| |z|, |y | = | Im z| |z|.

Поскольку длина стороны треугольника не больше суммы длин двух других его сторон и не меньше абсолютной величины их разности, то из рис. ?? с очевидностью следует неравенство |z1 | |z2 | |z1 + z2 | |z1 | + |z2 |. (9) Величина Arg z неоднозначна и определяется с точностью до любого слагаемого, кратного 2. Наряду с символом Arg z, обозначающим всю совокупность значений аргумента, будем употреблять символ arg z, называемый главным значением аргумента и обозначающий одно какое-либо значение Arg z, т.е.

arg z + 2, = const. Величину arg z, если не оговорено особо, будем рассматривать в пределах 0 arg z 2, когда = 0 (или arg z, когда = ).

Операции над комплексными числами причем для всех действительных положительных чисел = 0, а для отрицательных =. Соответственно, для чисто мнимых чисел, лежащих в верхней полуплоскости (y 0), = /2, а для лежащих в нижней полуплоскости (y 0) = 3/2.

Операции над комплексными числами

4. Извлечение корня Первое соотношение показывает, что модули всех корней одинаковы, второе – что их аргументы различаются на значение, кратное 2/n. Функции cos и sin имеют период 2. Поэтому, хотя формула (14) справедлива для всех целых k, она определяет различные значения корня n-й степени из z лишь для k = 0, n 1.

Отсюда следует, что корень n-й степени из любого комплексного числа z = 0 имеет Рис. 6 n различных значений и что эти значения располагаются в вершинах правильного n-угольника,




Похожие работы:

«Лекция 2. СИСТЕМА ИМИТАЦИОННОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ Ns-2 Введение (с. 2) В настоящее время наблюдается активное развитие как сетей связи, так и услуг, предоставляемых этими сетями. Этот процесс требует не только разработки нового технологического обору...»

«http://vmireskazki.ru vmireskazki.ru › Зарубежные авторы › Братья Гримм Удачная торговля Братья Гримм Однажды мужик стащил свою корову на базар и продал ее там за семь талеров. На обратном пути он должен был проходить мимо одного пруда, из которого далеко кругом разносилось...»

«ГЕОРГИЙ САТАРОВ. ВЕСЕННЕЕ ОБОСТРЕНИЕ: ДЕЛО "АГЕНТОВ" Ежедневный журнал, 24 мая – 3 июня 2013 года Размещая данную статью на сайте "ЕЖа", я обращаюсь к читателям, которых часто называют "продвинутыми", имея в виду их инт...»

«Уже около месяца жили мы на кочевке, верстах в полутораста от Оренбурга, а охота, от которой мы обещали себе столько удовольствия, почти ничего не представляла занимательного. Лето было самое жаркое, вс...»

«1 Физическая модель электрического заряда и вывод закона Кулона А.К. Юхимец Anatoly.Yuhimec@Gmail.com "Мы должны найти такой приём исследования, при котором мы могли бы сопровождать каждый свой шаг ясным физическим изображением явления". Д.К. Максвелл Сегодня нет никаких сомнений в том, что элемен...»

«A/60/38 Организация Объединенных Наций Доклад Комитета по ликвидации дискриминации в отношении женщин Тридцать вторая сессия (10–28 января 2005 года) Тридцать третья сессия (5–22 июля 2005 года) Генеральная Ассамблея Официальные отчеты Шестидесятая сессия Дополнение № 38 (A/60/38) Генеральная...»

«135 пыток и зверств, применяемых террористами ОУН – УПА к мирному населению..уповцы в день годовщины УПА решили преподнести своему "генералу" необычный подарок – 5 голов, отрезанных у поляков. Тот был приятно удивлен как самим...»

«Ассоциация региональное отраслевое объединение работодателей "Саморегулируемая организация строителей Байкальского региона" Утверждено решением Общего собрания членов Ассоциации РООР СРОСБР Протокол № ОС-22 от 09 февраля 2017 года ПОЛОЖЕНИЕ О РЕЕСТРЕ ЧЛЕНОВ АССОЦИАЦИИ РООР СРОСБР П 022 Р 01-2017 г. Иркутск 2017 Сод...»








 
2017 www.book.lib-i.ru - «Бесплатная электронная библиотека - электронные ресурсы»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.