WWW.BOOK.LIB-I.RU
БЕСПЛАТНАЯ  ИНТЕРНЕТ  БИБЛИОТЕКА - Электронные ресурсы
 

«2.2 Неравенство треугольника Докажем теперь, что dGH удовлетворяет неравенству треугольника. Предложение 2.17. Для любых метрических ...»

2.2. Неравенство треугольника 35

2.2 Неравенство треугольника

Докажем теперь, что dGH удовлетворяет неравенству треугольника.

Предложение 2.17. Для любых метрических пространств X1, X2 и X3

имеем

dGH (X1, X3 ) dGH (X1, X2 ) + dGH (X2, X3 ).

Доказательство. Выберем произвольные псевдометрики 12 D(X1, X2 ) и

23 D(X2, X3 ). Определим функцию на парах точек из X1 X3, положив

ее равной исходным псевдометрикам для пар, лежащих или в X1 или в X3, а для точек x1 X1 и x3 X3 положим ( ) (x1, x3 ) = (x3, x1 ) = inf 12 (x1, x2 ) + 23 (x2, x3 ).

x2 X2 Лемма 2.18. Определенная только что функция является псевдометрикой на X1 X3.

Доказательство. Достаточно проверить неравенство треугольника для x, z X1 и y X3. Имеем (x, y) + (y, z) = ( ) = inf 12 (x, x2 ) + 23 (x2, y) + 23 (y, x2 ) + 12 (x, z) x2 X2 x X2 ( ) 12 (x, x2 ) + 23 (x2, x ) + 12 (x, z) = inf 2 2 x2 X2 x X2 ( ) 12 (x, x2 ) + |x2 x | + 12 (x, z) = = inf 2 2 x2 X2 x X2 ( ) 12 (x, x2 ) + 12 (x2, x ) + 12 (x, z) |xz| = (x, z);

= inf 2 2 x2 X2 x X2 ( ) (z, x) + (x, y) = 12 (z, x) + inf 12 (x, x2 ) + 23 (x2, y) = x2 X2 ( ) = inf 12 (z, x) + 12 (x, x2 ) + 23 (x2, y) x2 X2 ( ) inf 12 (z, x2 ) + 23 (x2, y) = (z, y);

x2 X2 аналогично доказывается, что (y, z) + (z, x) (y, x).

Лемма 2.19.

В сделанных выше обозначениях, имеем dH (X1, X2, 12 ) + dH (X2, X3, 23 ) dH (X1, X3, ).

2.3. Первые примеры 36 Доказательство. Первое слагаемое в левой час

–  –  –

и, аналогично последнему, (x, z) + (z, y) (x, y).

Покажем теперь, что dH (X, Y, ) = d/2. Так как расстояния между произвольной точкой из X и произвольной точкой из Y равны d/2, то X Bd/2 (Y ) и Y Bd/2 (X), так что dH (X, Y ) d/2. С другой стороны, если 0 r d/2, то ни одна точка из Y не лежит в Br (X), поэтому dH (X, Y, ) d/2.

–  –  –

откуда diam Y, противоречие с неограниченностью Y. Таким образом, для неограниченного Y формула имеет место.

Пусть теперь Y ограничено. По предыдущему пункту имеем r. Повторяя проведенные выше рассуждения, заключаем, что для любых y1, y2 Y и любого 0 выполняется |y1 y2 | diam X + 2r + 2, откуда diam Y diam X + 2r + 2. Меняя X и Y местами, получаем, что diam X diam Y + 2r+2, откуда и вытекает требуемое неравенство, так как произвольно.

Предыдущие два результата мгновенно приводят к следующему примеру.

Пример 2.23.

Пусть Y = {y}, тогда для любого метрического пространства X имеем dGH (X, Y ) = diam(X)/2.

2.4. Соответствия и их искажения 38

2.4 Соответствия и их искажения Напомним, что отношением между множествами X и Y называется каждое подмножество декартова произведения X Y. Множество всех отношений между X и Y обозначим через P(X, Y ). Если X : X Y X и Y : X Y Y — канонические проекции, т.е. X (x, y) = x и Y (x, y) = y, то теми же символами будем обозначать ограничения этих отображений на каждое отношение P(X, Y ).

Отношение R между X и Y называется соответствием, если ограничение канонических проекций X и Y на R — сюръекции. Иными словами, для каждого x X существует y Y, находящийся с x в отношении R и, обратно, для каждого y Y существует x X, находящийся с y в отношении R.

Замечание 2.24. График отображения является соответствием, если и только если это отображение сюръективно.

Множество всех соответствий между X и Y обозначим через R(X, Y ).





Далее, отношение включения задает на P(X, Y ), а, значит, и на R(X, Y ), частичный порядок: 1 2, если и только если 1 2. Минимальные в этом порядке соответствия назовем неприводимыми, а все остальные — приводимыми. Таким образом, соответствие приводимо тогда и только тогда, когда из него можно выкинуть некоторые пары (x, y), и полученное в результате отношение останется соответствием. Если таких пар не существует, то соответствие неприводимо. Отметим, что график сюръективного отображения является примером неприводимого соответствия.

Для каждого отношения P(X, Y ) определим его искажение dis { } так:

dis = sup |xx | |yy | : (x, y), (x, y ).

Если f : X Y — отображение, то его искажением dis f назовем искажение графика отображения f.

Упражнение 2.25. Покажите, что искажение является монотонно возрастающей функцией на P(X, Y ), т.е. если 1 2, то dis 1 dis 2.

Упражнение 2.26. Пусть X и X — пространства с псевдометриками и соответственно. Покажите, что X/ и X / изометричны, если и только если между X и Y существует соответствие, искажение которого равно нулю. Такие псевдометрические пространства X и X также будем называть изометричными.

Теорема 2.27.

Для любых метрических пространств X и Y имеем { } inf dis R | R R(X, Y ).

dGH (X, Y ) = Доказательство. Обозначим через I(X, Y ) правую часть равенства из формулировки теоремы. План доказательства теоремы такой. Сначала мы покажем, что для произвольного 0 и для каждой реализации (X, Y, Z)

2.4. Соответствия и их искажения 39 пары (X, Y ) существует такое соответствие R R(X, Y ), что 2dH (X, Y ) + 2 dis R. Это даст нам неравенство dGH (X, Y ) I(X, Y ). Затем мы покажем, что для каждого соответствия R R(X, Y ) можно построить такую реализацию (X, Y, Z) пары (X, Y ), что dH (X, Y ) = 2 dis R. Последнее

–  –  –

Тогда отношение R является соответствием. Действительно, имеем X Ur+ (Y ) и Y Ur+ (X ), поэтому для любого x X, x = f (x) X, существует такое y Y и y Y, y = g(y), что f (x)g(y) = |x y | r +, откуда (x, y) R. Отсюда вытекает, что проекция X сюръективна.

Аналогично показывается, что и проекция Y также сюръективна.

Оценим dis R. Пусть (x1, y1 ) и (x2, y2 ) — произвольные пары из R. Тогда

–  –  –

Далее, заметим, что если (x, y) R, то (x, y) = r. Поэтому, так как R — соответствие, для каждой точки x X существует точка y Y такая, что (x, y) = r и, обратно, для каждой точки y Y существует точка x X такая, что (x, y) = r. Кроме того, для любых x X и y Y имеем (x, y) r. Отсюда вытекает, что dH (X, Y, ) = r, что и требовалось.

Упражнение 2.29. Пусть X, Y и Z — метрические пространства, R1 — соответствие между X и Y, а R2 — соответствие между Y и Z. Докажите, что (1) R1 R2 — соответствие между X и Z;

(2) dis(R1 R2 ) dis R1 + dis R2 ;

(3) выведите из предыдущего утверждения неравенство треугольника для




Похожие работы:

«"Самое большое разочарование в моей жизни принесли мне победы. Победы не оправдывают себя. Я никого не убивал. К.В. НИ К И Ф О Р О В Но меня убивали. Задолго до смерти. Моим книгам было бы СЕРБИЯ БАЛКАНАХ лучше, если бы их написал НА какой-нибудь XX ВЕК...»

«РАЗМЫШЛЕНИЯ И РАЗБОРЫ СТАТЬЯ V VII. О ПОЭЗИИ ИТАЛЬЯНСКОЙ _ Приступая к итальянской поэзии, невольный страх на меня нападает: так обширно поле, передо мною открывающееся. Конечно, произведения греков еще превосходнее достоинством, но зато их меньше...»

«АКТУАЛЬНАЯ TEMA АКТУАЛЬНАЯ TEMA Семён БАГДАСАРОВ БЛИЖНИЙ ВОСТОК Перезагрузка Москва УДК 323(5-012) ББК 66.3(5) Б14 Согласно решениям ВС РФ организации, перечисленные ниже, признаны террористическими или э...»

«МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ ДАЛЬНЕВОСТОЧНАЯ АКАДЕМИЯ ГОСУДАРСТВЕННОЙ СЛУЖБЫ "Дебаты": от теории к практике" Руководство 2009 г. Хабаровск ББК 72.4(2) я 43 Н 346 "Дебаты":...»

«Е.И. Бондаренко, З.А. Лебедева К вопросу о семантике междометных фразеологических единиц как разговорных формул Вопросы описания устойчивых фраз и их систематизация всегда привлекали внимание исследователей. Предметом исследования в настоящ...»

«Вестник Русской хРистианской том 10 гуманитаРной выпуск 3 академии Научный журнал Издается Выходит с 1997 г. 4 раза в год издательство Русской христианской гуманитарной академии санкт-Петербург Журнал является научным изданием Русской христианской гуманитар...»

«Руководителю следственного отдела по г.Геленджику СУСК РФ по КК подполковнику юстиции Д.В.Дремлюга от Больбат Дмитрия Леонтиевича, г.Геленджик ул.Курзальная 40 Уважаемый Дмитрий Владимирович! В рамках проводимой проверки по моему заявлению по факту возбуждения уголовного дела в отношен...»

«Министерство здравоохранения республики беларусь УТВЕРЖДАЮ Первый заместитель министра здравоохранения В.В. Колбанов 13 мая 2005 г. Регистрационный № 36–0305 контурная пластика лица аллогенныМ коллагенФасциальны...»

«299 ДЕМОГРАФІЯ, ЕКОНОМІКА ПРАЦІ, СОЦІАЛЬНА ЕКОНОМІКА І ПОЛІТИКА Татьяна Н. Виценец ПРОГНОЗИРОВАНИЕ РАЗВИТИЯ МИГРАЦИОННЫХ ПРОЦЕССОВ НА ИССЛЕДУЕМОЙ ТЕРРИТОРИИ В статье рассмотрены методы прогнозирования развития миграционных процессов на территории Дальнего Востока. Предполагается сокращение населения данной территории за счет миграционной убыл...»

«Сообщение о существенном факте об отдельных решениях, принятых советом директоров эмитента 1. Общие сведения 1.1. Полное фирменное наименование эмитента Публичное акционерное общество "Уралкалий"1.2. Сокращенное фи...»








 
2017 www.book.lib-i.ru - «Бесплатная электронная библиотека - электронные ресурсы»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.