WWW.BOOK.LIB-I.RU
БЕСПЛАТНАЯ  ИНТЕРНЕТ  БИБЛИОТЕКА - Электронные ресурсы
 

«Ограниченное управление движениями двухмассового маятника Безгласный С.П.*, Краснов М.В.,** Мухаметзянова А.А.*** Самарский государственный ...»

Электронный журнал «Труды МАИ». Выпуск № 79 www.mai.ru/science/trudy/

УДК 531.36: 534.1

Ограниченное управление движениями

двухмассового маятника

Безгласный С.П.*, Краснов М.В.,** Мухаметзянова А.А.***

Самарский государственный аэрокосмический университет имени академика

С.П. Королева, СГАУ, Московское шоссе 34, Самара, 443086, Россия

*e-mail: bezglasnsp@rambler.ru

**e-mail: maxasgard@mail.ru

***e-mail: Alain.20@mail.ru

Аннотация

Рассматривается задача об ограниченном управлении плоскими движениями двухмассового параметрического маятника. Маятник моделируются двумя одинаковыми невесомыми стержнями с двумя равными точечными массами, двигающимися по окружности вокруг точки закрепления.

Управление реализуется путем непрерывного изменения угла между стержнями и является функцией, зависящей от движения центра масс маятника.

Предложены законы управления раскачкой и успокоением маятника в окрестности нижнего положения равновесия при предположении об ограничениях на перемещения центра масс маятника. Построены функции Ляпунова, доказывающие асимптотическую устойчивость и неустойчивость нижнего положения маятника в случаях его успокоения и раскачки соответственно. Теоретические результаты проиллюстрированы графическим представлением численных расчетов.

Ключевые слова: двухмассовый маятник, управление, функция Ляпунова, асимптотическая устойчивость.

Введение В различных задачах механики плоские движения исследуемых систем и объектов при некоторых упрощениях моделируют математическим маятником.

Между тем изучение движений самого плоского маятника обнаруживает много качественных свойств нелинейной системы и вызывает самостоятельный интерес у современных исследователей. Так, например, в работе [1] в задаче о колебаниях маятника переменной длины на вибрирующем основании при больших частотах вибраций и малых амплитудах колебаний длины маятника и точки его подвеса получены бифуркационные диаграммы равновесий, исследованы резонансы и показано присутствие стохастической паутины вблизи равновесий. В [2] при помощи КАМ-теории в близком к резонансному случаю проведен анализ периодических и условно-периодических движений системы в задаче о движении двух одинаковых маятников, связанных линейной упругой пружиной, в окрестности их устойчивого вертикального положения равновесия. В работе [3] с помощью метода предельных функций и систем решена задача о стабилизации произвольных программных движений математического маятника в переменном поле силы тяжести при наличии неучтенных воздействий с помощью релейного управления. Задачи о построении асимптотически устойчивых заданных маятниковых движений волчка Лагранжа на подвижной платформе и руки робота-манипулятора, моделируемой двустепенным маятником переменной длины, решены в работах [4, 5] соответственно.

Одной из классических задач механики о маятниковых движениях является задача об управлении качелями. Встречаются две основные модели качелей – одномассовый и двухмассовый маятники. Для одномассовой модели в виде плоского математического маятника переменной длины авторами в ряде работ, например [6–8], аналитически и численно исследовались вопросы устойчивости и неустойчивости верхнего и нижнего положений, влияния сил (сухого, вязкого трений и аэродинамического сопротивления), выбора оптимальных режимов раскачки, гашения колебаний и возникновения резонансов. Двухмассовым маятником качели моделируются в работах [9–14].





В [9] методами усреднения и принципа максимума решены задачи управления и оптимизации для случаев малых колебаний и быстрых вращений путем регулируемой по скорости длиной маятника. В работе [10] построены процессы оптимальных раскачки и торможения качелей релейным и «релейнонепрерывным» управлением длиной подвеса подвижной массы для случаев движения без трения и с наличием разных видов трения.

В отличие от большинства указанных выше работ, в которых решались задачи об управлении качелями с помощью скачкообразного (релейного) изменения величины перемещения подвижной массы, невозможного для практической реализации в силу инертности масс, авторами работы [11] был предложен непрерывный закон движения подвижной массы, позволяющий раскачивать и тормозить качели. В [12] решены задачи о диаметральной переориентации и гравитационной стабилизации плоских движений спутника на круговой орбите с помощью подвижной массы по принципу качелей. Но управляющий закон, предложенный в этих работах, предполагает неограниченность расстояния от точки подвеса до подвижной массы в обе стороны, в частности, в [11] авторами приведен численный пример, в котором теоретически считается, что стержень продлен вверх за точку подвеса маятника с предоставленной возможностью движения по нему подвижной массы. На практике реализация таких движений затруднительна. В работах [13, 14] были предложены новые законы управлением подвижной массой по принципу качелей, которые предполагают ограниченность относительного перемещения этой массы вдоль стержня.

В данной работе рассматривается модель параметрического маятника, представляющего собой совокупность двух симметрично отклоненных от оси симметрии одинаковых по длине и массе маятников, с возможностью управлять величиной угла между ними. Предложены законы управления этим углом, позволяющие раскачивать и гасить колебания рассматриваемой модели

–  –  –

аналитически доказать асимптотическую устойчивость и неустойчивость различных движений маятника путем построения соответствующих функций Ляпунова и предоставляют более удобные возможности для его практической

–  –  –

Рассмотрим параметрический двухмассовый маятник, состоящий из двух равных точечных масс m, неподвижно закрепленных на концах двух невесомых стержней одинаковой длины b (Рис.1). Свободные концы стержней шарнирно закреплены в неподвижной точке O. Угол между стержнями

–  –  –

За обобщенную переменную, описывающую движение маятника, примем величину угла между биссектрисой и вертикалью. Движения маятника происходят в вертикальной плоскости под действием силы тяжести.

Управлением будем считать величину угла (, ), являющуюся непрерывной функцией вектора фазового состояния маятника, где точка обозначает производную по времени.

Кинетическая и потенциальная энергии маятника имеют вид:

–  –  –

движениями параметрического маятника – построить непрерывные законы управления величиной угла, реализующие раскачку и асимптотическое успокоение колебаний соответственно в окрестности нижнего положения равновесия. Решать задачу будем в предположении, что движения центра масс маятника вдоль биссектрисы угла 2 ограничены с двух сторон.

–  –  –

двухмассового маятника относительно его нижнего положения равновесия получим на основе второго метода классической теории устойчивости.

Выберем управляющий закон в виде:

–  –  –

окрестности нижнего положения равновесия 0 является положительно определенной и допускает бесконечно малый высший предел по переменным,. Оценим полную производную этой функции по времени в силу уравнения (3):

–  –  –

Разложив в правой части равенства (5) функцию sin в ряд, выполнив элементарные преобразования и отбросив слагаемые старше четвертой степени по переменным,, получим, что в окрестности положения 0 производная (4) с точностью до слагаемых четвертого порядка малости представима выражением:

–  –  –

скорости функцией. Множество 0 не содержит решений системы (3), кроме 0. На основе теоремы Барбошина-Красовского [15] имеем асимптотическую устойчивость нижнего положения равновесия 0 маятника.

Проведенные численные расчеты подтверждают сделанные выводы об асимптотической устойчивости нижнего положения равновесия 0 маятника и демонстрируют асимптотическое затухание амплитуды колебаний не только в малой окрестности, но и при произвольно больших начальных отклонениях. На рис. 2 изображен график зависимости угла от времени, полученный численным интегрированием уравнения движения (3) при

–  –  –

t [0,100] c.

Из рис. 2 видно, что, начав движение с большой начальной скоростью, маятник сначала совершает два оборота против часовой стрелки вокруг точки подвеса, а потом происходит асимптотическое затухание его колебаний в окрестности точки 4, 0, которая физически соответствует положению

0. Поэтому строго говоря, положение равновесия 0 маятника не является асимптотически устойчивым в целом, тем не менее затухание его колебаний при управлении (2) происходит при любых начальных условиях.

–  –  –

На рис. 3 изображен фазовый портрет решения уравнения (3) с управлением (2). Фазовая траектория отображает затухание амплитуды и скорости колебаний маятника вокруг нулевого положения равновесия.

Графики, представленные на рис. 2 и 3, иллюстрируют очень медленную сходимость решений к нулевому положению равновесия после значений

–  –  –

предложенных управлений при малых углах отклонений. Тем не менее, численное интегрирование, проведенное на больших интервалах времени, подтверждает асимптотическую сходимость решений и отсутствие ненулевых предельных циклов.

Рис. 4. Зависимость длины подвеса подвижной точки от угла отклонения Рис. 4 демонстрирует поведение величины расстояния l от точки подвеса до центра масс маятника в зависимости от угла. Из него видно, что

–  –  –

окрестности значения l0, задаваемой константой c 1, как при колебательных, так и при вращательных движениях маятника. Точка C с течением времени асимптотически приближается к положению l0.

–  –  –

Применим аналогичный подход к решению задачи о раскачке маятника из произвольной окрестности нижнего положения равновесия. Заметим, что при нулевых начальных значениях (t0 ) (t0 ) 0 система (1) является неуправляемой для всех t0 t при любом законе управления вида

–  –  –

действующие на систему силы (внешние возмущения) выведут ее из положения равновесия, и станет возможным эффективный процесс управления – раскачка.

Выбрав закон управления в виде:

–  –  –

Для доказательства неустойчивости нулевого решения системы (7) воспользуемся положительно определенной функцией Ляпунова (4).

Ее полная производная по времени в силу уравнений (7) с точностью до слагаемых четвертого порядка малости включительно по переменным, имеет вид:

–  –  –

начальных данных: (t0 ) 0,5 рад, (t0 ) 0 рад / с. Интегрирование проведено на временном промежутке t [0,35] c.

На рис. 6 изображен соответствующий фазовый портрет. Фазовая траектория отображает нарастание с течением времени амплитуды и скорости колебания двухмассового маятника и переход от колебаний к вращательному движению.

–  –  –

Рис. 7 демонстрирует поведение величины расстояния l от точки подвеса до центра масс маятника в зависимости от угла. При нарастании отклонений и скоростей и переходе маятника от колебательных к вращательным движениям при управлении (6) величина l остается в окрестности значения l0, задаваемой константой c 1.

Рис. 7. Зависимость длины подвеса подвижной точки от угла отклонения

–  –  –

В работе для задачи параметрического управления плоскими движениями двухмассового маятника предложены законы управления его раскачкой и асимптотическим успокоением путем непрерывного изменения величины угла между стержнями, зависящей от фазового состояния центра масс при ограничениях на его движения. Для предложенных законов управления методом функций Ляпунова доказана асимптотическая устойчивость и неустойчивость соответственно успокоения и раскачки маятника относительно нижнего

–  –  –

1. Красильников П.С. О нелинейных колебаниях маятника переменной длины на вибрирующем основании // Прикладная математика и механика. 2012.

Т.76. № 1. С. 36-51.

2. Маркеев А.П. Нелинейные колебания симпатических маятников // Нелинейная динамика. 2010. Т. 6. № 3. С. 605-622.

–  –  –

Журнал Средневолжского математического общества. 2010. Т. 12. № 4. С. 64Безгласный С.П., Мысина О.А. Стабилизация программных движений твердого тела на подвижной платформе // Известия Саратовского университета.

Сер. Математика. Механика. Информатика. 2008. Т. 8. №. 4. С.44-52.

5. Безгласный С.П., Батина Е.С., Воробьев А.С. Синтез асимптотически устойчивых движений руки робота-манипулятора. Известия Саратовского университета. Сер. Математика. Механика. Информатика. 2013. Т. 13. № 4, ч.

1. С. 36-42.

6. Стрижак Т.Г. Методы исследования динамических систем типа «маятник». - Алма-Ата: Наука, 1981. - 253 с.

7. Сейранян А.П. Качели. Параметрический резонанс // Прикладная математика и механика. 2004. Т.68. № 5. С. 847-856.

8. Акуленко Л.Д., Нестеров С.В. Устойчивость равновесия маятника переменной длины // Прикладная математика и механика. 2009. Т.73. № 6. С.

893-901.

–  –  –

вращениями физического маятника (качели) // Прикладная математика и механика. 1993. Т.57. № 2. С. 82-91.

10. Лавровский Э.К., Формальский А.М. Оптимальное управление раскачиванием качелей // Прикладная математика и механика. 1993. Т. 57. № 2.

С. 92-101.

11. Асланов В.С., Безгласный С.П. Устойчивость и неустойчивость управляемых движений двухмассового маятника переменной длины // Известия РАН. Механика твердого тела. 2012. № 3. С. 32-46.

12. Асланов В.С., Безгласный С.П. Гравитационная стабилизация спутника с помощью подвижной массы // Прикладная математика и механика.

Прикладная математика и механика. 2012. Т. 76. № 4. С. 565-575.

13. Безгласный С.П., Пиякина Е.Е., Талипова А.А. Ограниченное управление двухмассовым маятником // Автоматизация процессов управления.

2013. Т. 34. № 4.С. 35-41.

14. Безгласный С.П., Батина Е.С., Пиякина Е. Е., Параметрическое

–  –  –

27.01.2014).

15. Малкин И.Г. Теория устойчивости движения. - М.: Наука, 1966. - 530




Похожие работы:

«УТВЕРЖДЕНО приказом Генерального директора ЗАО "Страховая группа "УралСиб" от 26 августа 2004 года № 369 Регистрационный номер: 126 ПРАВИЛА ДОБРОВОЛЬНОГО СТРАХОВАНИЯ ЖЕЛЕЗНОДОРОЖНОГО ПОДВИЖНОГО СОСТАВА Москва, 2004...»

«ЦЕНТРАЛЬНОЕ ОКРУЖНОЕ УПРАВЛЕНИЕ ОБРАЗОВАНИЯ ДЕПАРТАМЕНТА ОБРАЗОВАНИЯ г. МОСКВЫ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ № ГОУ СОШ 1262 " Утверждаю" "Согласовано" Директор ГОУ СОШ № 1262 Зам. директора ОМЦ ЦОУО ДО Г.А. Шурыгина П.В. Кузьмин "_2011-12 г. "" 2011-12 г. Образовательная модифицированная програм...»

«Эт об ыл ох ор ош Proдвижение 2015 о хо о пл ло ИТОГИ РАБОТЫ ы об Эт САНКТ-ПЕТЕРБУРГ СТРУКТУРА БИБЛИОТЕКИ 191025, наб. р. Фонтанки, 44 33 Основной3абонемент 33 Читальные3залы 33 Мультимедийный3центр 33 Управление3библиографическими3информационными3 службами 33 Отдел3петербурговедения 33 Отдел3хранения3основного3фонда 191025, наб. р. Фонтанки, 46 33...»

«Прайс-лист. Астраханский филиал Мини-Такса ОАО "ВымпелКом" подключение с федеральным номером Услуги, подключаемые по умолчанию: GPRS-пакет, местная, междугородная, международная связь, прием/передача SMS,Будь в курсе+, Есть контакт Стоимость подключения 0 Абонентская плата, ежесуточная 0 Услуги местной связи10 Посекундная тарифика...»

«ОТЧЕТ о деятельности Счетной палаты Республики Крым за 2015 год Симферополь, 2016 СОДЕРЖАНИЕ 1. Общие положения..3 2. Основные итоги деятельности за 2015 год.4 Контрольная и экспертно-аналитическая деятельность.7 3.3.1 Контрольная деятельность..7 3.2 Экспертно-аналитическая деятельность...»

«Не просто концепция: Soul — это реальность Soul расширяет привычные границы восприятия. Яркий и самобытный KIA Soul — это выбор тех, кто ценит индивидуальность и создает свой мир по своим правилам. Сочетая преимущества внедорожника, минивэна и компактного городского хэтчбека, KIA Soul ломает стер...»

«УТВЕРЖДЕН Советом директоров ЗАО "ТЭК-Торг" Протокол №4 от 7 июля 2015 г. Регламент работы на электронной торговой площадке ЗАО "ТЭК-Торг" (закупочные процедуры) в Секции ОАО "НК "Роснефть" Москва, 2015 Регламент работы ЭТП ЗАО "ТЭК-Торг" в Секции НК Роснефть Раздел 1. Термины и определения ЭЛЕКТРОННАЯ ТОРГОВАЯ ПЛОЩАДКА ЗАО "Т...»

«КАСАФЛЕКС 01.10.08 Содержание Содержание 1. Описание системы 1.1. Общие положения 1.2. Область применения 1.3. Преимущества системы 2. Продукция 2.1. Трубы КАСАФЛЕКС 2.2. Фитинги 2.3. Комплект для изоляции стыка 2...»

«НАЦИОНАЛЬНЫЙ БАНК РЕСПУБЛИКИ ЮЖНАЯ ОСЕТИЯ УКАЗАНИЕ 07 ноября 2014 г. № 1-У О перечне, формах и порядке составления и представления форм отчетности кредитных организаций в Национальный банк Республики Южная Осетия 1. В соответствии с решением Совета дирек...»

«Н.П. Бурцев, Я.А. Теплова Сергей Сергеевич ВАСИЛЬЕВ (биографические заметки, Ташкентский период, 1920-1945 гг.) Сергей Сергеевич Васильев родился 2 марта 1908 года в городе Двинске (г. Даугавпилс) в семье военнослужащего. Так как его отец, тоже Сергей Сергеевич, был профессиональным в...»








 
2017 www.book.lib-i.ru - «Бесплатная электронная библиотека - электронные ресурсы»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.