WWW.BOOK.LIB-I.RU
БЕСПЛАТНАЯ  ИНТЕРНЕТ  БИБЛИОТЕКА - Электронные ресурсы
 


«САРАТОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Кафедра электроники, колебаний и волн Высший Колледж Прикладных Наук CАРАТОВСКИЙ ФИЛИАЛ ИНСТИТУТА РАДИОТЕХНИКИ И ЭЛЕКТРОНИКИ РАН Учебно-научная ...»

САРАТОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

Кафедра электроники, колебаний и волн

Высший Колледж Прикладных Наук

CАРАТОВСКИЙ ФИЛИАЛ ИНСТИТУТА РАДИОТЕХНИКИ И

ЭЛЕКТРОНИКИ РАН

Учебно-научная лаборатория

«Нелинейная динамика (физический эксперимент)»

М.Ю. БУГАЕВСКИЙ, В.И. ПОНОМАРЕНКО

ИССЛЕДОВАНИЕ ПОВЕДЕНИЯ ЦЕПИ ЧУА

Учебно-методическое пособие Государственный учебно–научный центр «Колледж»

Cаратов 1999 УДК 530.18 Б90 Бугаевский М.Ю., Пономаренко В.И.

Б90 Исследование поведения цепи Чуа. Учебно-методическое пособие, — Саратов: Издательство ГосУНЦ «Колледж», 1998. — 29 с.

Цепь Чуа — это простая электронная схема, демонстрирующая целый ряд бифуркационных явлений и аттракторов.

Цепь состоит из двух конденсаторов, катушки индуктивности, линейного резистора и нелинейного резистора (обычно называемого диодом Чуа).

В лабораторной работе экспериментально исследуется хаотическое поведение цепи Чуа, ставшей одной из канонических схем, используемых для исследования нелинейных явлений.

Работа предназначена для практических занятий по курсам «Нелинейные колебания», «Динамические системы и бифуркации» и «Динамический хаос» для студентов ВКПН и физического факультета Саратовского университета Работа выполнена при поддержке ФЦП «Интеграция», грант № 696.3.

Рецензент: доцент кафедры электроники, колебаний и волн, к.ф.-м.н. А.А. Короновский © М.Ю Бугаевский, В.И. Пономаренко, © Изд–во ГосУНЦ «Колледж», Содержание Введение 4 Расчет номиналов экспериментальной модели цепи Чуа 6 Преобразователь отрицательного сопротивления 7 Управляемый напряжением источник напряжения (УНИН) 7 Основанный на УНИН преобразователь отрицательного сопротивления 8 Операционные усилители 10 Преобразователь отрицательного сопротивления на основе ОУ 11 Реализация диода Чуа с использованием двух управляемых напряжением ПОС на ОУ 18 Выбор комплектующих элементов 20 Приложение. Динамика системы Чуа 21 Методика проведения эксперимента. 21 Меры предосторожности и безопасности 27 Контрольные вопросы 27 Задание по лабораторной работе. 28 Список литературы 29 Введение.

По утверждению автора схемы, профессора Леона Чуа, широко известная теперь схема Чуа была придумана в 1983 г. после неудачного эксперимента с электронной моделью системы Лоренца. Автору схемы пришла в голову мысль, что поскольку основной механизм, приводящий к появлению хаоса в системах Лоренца и Ресслера — это наличие более чем одного неустойчивого положения равновесия (три для Лоренца и два для Ресслера), то можно придумать более простую систему, обладающую этими свойствами [1].

Рис.1. Схема Чуа.

В результате получилась схема, изображенная на рис.1 — это простая колебательная цепь, демонстрирующая ряд бифуркаций и переход к хаосу. Она содержит три линейных реактивных элемента (катушка индуктивности и два конденсатора), один линейный резистор R и один нелинейный резистор NR.

Уравнение цепи имеет вид:

dvC1 = G (vC2 vC1 ) g (vC1 ) C1 dt dvC2 = G (vC1 vC2 ) + iL C2 (1) dt diL = vC2 L dt где G=1/R, а g(v) — это кусочно-линейная функция, определенная как g (v) = m0 v + (m1 m0 )[| v + B p | | v B p |]. (2) Это соотношение представлено графически на рис.2; наклоны внутреннего и внешнего участков есть m0 и m1, соответственно;





±Bp обозначают точки излома. Сопротивление резистора NR, называемого диодом Чуа, нелинейным образом зависит от напряжения на его выводах.

Рис.2. Кусочно-линейная характеристика нелинейного резистора NR в цепиЧуа.

Расчет номиналов элементов экспериментальной модели цепи Чуа.

Мацумото с соавторами [2] с помощью компьютерного моделирования соотношений (1) показал, что аттрактор типа “double scroll” появляется в цепи Чуа при следующих значениях параметров:

C1 =1/9; C2 =1; L =1/7; G =0.7; Bp =1; m0 =–0.5; m1 =–0.8.

В этих и более ранних примерах моделирования единицы измерения не приводились (не были необходимы) для переменных состояния vC1, vC2 и iL, поскольку Мацумото просто моделировал набор дифференциальных уравнений. Если мы перепишем уравнение в единицах СИ, то напряжения будут измеряться в вольтах (В), токи в амперах (А), емкость в фарадах (Ф), индуктивность в генри (Г), сопротивление в омах (Ом); величина, обратная сопротивлению и называемая проводимостью, измеряется в сименсах (См).

Поскольку в электронных цепях легче реализовать токи порядка миллиампер, чем ампер, то первым шагом является уменьшение всех токов в 1000 раз, что ведет к уменьшению всех емкостей в 1000 раз и увеличению сопротивлений и индуктивностей во столько же раз. Таким образом, при vC1 и vC2, измеряемых в вольтах и iL,, измеряемом в миллиамперах, набор параметров

Мацумото принимает вид:

C1 =1/910–3 Ф, C2 =110–3 Ф, L =1/7103 Гн, G =0.710–3 См.

Наклоны кусочно-линейной характеристики резистора составляют теперь –0.8 мСм (мА/В) и –0.5 мСм; точки излома остаются неизменными при Bp =1В.

Проще использовать емкости в нанофарадах и индуктивности в миллигенри, чем фарады и генри. Эффект перемасштабирования времени в (1) в k раз проявляется в умножении каждой индуктивности и емкости на тот же множитель k; на величины резисторов изменение масштаба времени не влияет. В частности, замедление времени в 2104 раз уменьшает C1, C2 и L во столько же раз.

Измененные параметры принимают следующий вид:

C1 =1/1810–7 Ф = 5.56 нФ, C2 =1.210–7 Ф = 50 нФ, L =1/1410–1 Гн = 7.14 мГн, G =0.710–3 См = 0.7 мСм (что соответствует R=1428 Ом).

При перемасштабировании времени точки излома и наклона кусочно-линейного резистора NR не изменяются.

Выберем номиналы реальных элементов равными 18 мГн, 10 нФ, 100 нФ и 1800 Ом, близких к расчетным.

Проведя масштабирование тока и времени, мы конструируем диод Чуа: нелинейный резистор с вольт–амперной характеристикой, показанной на рис. 2. Его важным свойством является то, что он обладает двумя отрицательными наклонами m0 и m1.

Далее опишем методику конструирования диода Чуа с использованием операционных усилителей.

Преобразователь отрицательного сопротивления Существует множество путей для синтеза отрицательного сопротивления, один из которых состоит в подсоединении трех положительных линейных резисторов к управляемому напряжением источнику напряжения для формирования преобразователя отрицательного сопротивления. Это устройство привлекательно с экспериментальной точки зрения, поскольку легко осуществимо при помощи операционного усилителя (ОУ).

Управляемый напряжением источник напряжения (УНИН) Управляемый напряжением источник напряжения (УНИН) является идеальным элементом цепи, который имеет два входа и два выхода (см. Рис. 3а).

Он характеризуется двумя свойствами:

ток на входе равен нулю, а напряжение на выходе vout. является функцией разности потенциалов на входе vin.. Простейшая нетривиальная функциональная зависимость между входным и выходным напряжением УНИН имеет место, когда vout. линейно зависит от vin., т.е. vout.= A vin.. Это проиллюстрировано на рис. 3б.

Рис.3. Управляемый напряжением источник напряжения: графическое обозначение (а) и передаточная характеристика (б).

–  –  –

Мы рассматриваем только случай, когда напряжения на неинвертирующем и инвертирующем входах относительно опорного вывода находится внутри рабочей области операционного усилителя.

реального ОУ хорошо аппроксимируется трехсегментной кусочно–линейной характеристикой, как показано на Рис. 5б.

Рис.5. Операционный усилитель: графическое изображение (а) и передаточная характеристика (б).

Поскольку реальный ОУ содержит компенсирующие и паразитные емкости, полная модель устройства будет включать реактивные элементы. Однако, мы предположим, что ОУ ведет себя как резистор в диапазоне частот, в котором будет работать схема Чуа. Это всегда можно обеспечить соответствующим масштабированием времени, как это было показано ранее. Таким образом, мы пренебрегаем всеми частотно–зависимыми эффектами в ОУ и работаем с ним как с чисто активным устройством.

Можно предположить также, что выходной импеданс ОУ достаточно мал, так что им можно пренебречь.

Таким образом, в наших целях выход ОУ выглядит как идеальный источник напряжения, а вход — как разрыв цепи. Поэтому мы можем моделировать ОУ как УНИН: iin.=0; vout. =f (vin.), где f (v) имеет вид, представленный на Рис. 5б.

Преимуществом данной кусочно-линейной модели является то, что мы теперь можем определить поведение цепи, содержащей ОУ и другие компоненты, анализируя каждый линейный участок работы (отрицательное насыщение, линейная область и положительное насыщение) отдельно.

Преобразователь отрицательного сопротивления на основе ОУ Как показано на рис. 6б, ОУ моделируется как УНИН с трехсегментной характеристикой преобразования напряжения. В данной модели учитываются ненулевое постоянное смещение vos, конечное усиление A в линейной области и (возможно различные) уровни насыщения –Esat– и Esat+.

Рис.6. Преобразователь отрицательного сопротивления на основе операционного усилителя: (а) принципиальная схема; (б) ВАХ преобразователя в предположении, что характеристика ОУ имеет вид, представленный на рис.5б.

–  –  –

ответствии с предположением, а точки излома расположены в ± (R3/(R2+R3))Esat.

Преобразователь отрицательного сопротивления (ПОС) на ОУ будет основным блоком диода Чуа.

Для того, чтобы получить нелинейную характеристику, представленную на рис.2, необходимо соединить параллельно два таких ПОС, как это показано на Рис. 7.

Рис.7. Параллельное соединение двух кусочно-линейных резисторов.

Пусть оба управляются напряжением. Ток i1, протекающий через резистор N R1, когда к его выводам приложено напряжение v1, определяется зависимостью i1 = f1(v1). Точно так же ток i 2 = f 2 (v 2 ) течет в N R2. Общий ток задается функцией i = g (v), где g (v)=f 1 (v)+f 2(v).

Таким образом, параллельное соединение двух (или более) управляемых напряжением нелинейных резисторов также является управляемым напряжением нелинейным резистором. Определить форму g (v) можно графически сложением i1 и i2 для всех v, как показано на рис. 8.

Этот способ позволяет сконструировать пятисегментный физически реализуемый кусочно–линейный резистор, требуемый для схемы Чуа, путем параллельного соединения двух преобразователей отрицательного сопротивления с ВАХ соответствующей формы.

Рис.8. Графическое сложение двух вольт-амперных характеристик нелинейных резисторов Реализация диода Чуа с использованием двух управляемых напряжением ПОС на ОУ На Рис. 9 изображена реализация цепи Чуа на ОУ. Нужная для диода Чуа ВАХ задается двумя управляемыми напряжением преобразователями отрицательного сопротивления N R1 и N R2, соединенными параллельно.

Рис.9. Принципиальная схема системы Чуа. Дополнительные ОУ включены в схему для устранения влияния измерительных приборов на динамику системы Чуа.

–  –  –

Выбор комплектующих элементов Esat определяется источником энергии и внутренним устройством ОУ. Нам необязательно априори известно это значение, но его можно измерить. Для действующей установки Esat составляет примерно 14,2 В. Форма требуемой характеристики определяется значениями B p2, m0, m1. Выбор величин B p1 и m-1 до некоторой степени произволен.

• Выберем R1 достаточно большим, чтобы оно не нагружало сильно ОУ (скажем, 330 Ом). Рассчитаем B p1 = (1 /(1 m1 R1 )) Esat.

Если B p1 недостаточно велико, чтобы динамика аттрактора оставалась в пределах области отрицательного сопротивления, нужно уменьшить R1 и попытаться снова. Необходимо найти длину области отрицательного сопротивления в зависимости от величины R1.

• Положим R2 =R1.

• Найдем E sat R3 =.

( B p2 Esat )m0 B p2 m1

• Рассчитаем Esat R4 =.

B p2 (m0 m1 )

• Положим R5 =R6

• Найдем E sat R6 =.

( E sat B p2 )(m0 m1 ) Необходимая нелинейная характеристика определяется m0 = –0.409 мСм, m1 = – 0.756 мСм, и B p2 = 1.08 В.

Приложение Динамика системы Чуа.

Исследование динамики системы Чуа обычно проводится на модели с нелинейной характеристикой, включающей три линейных сегмента с разным наклоном (рис.2). Однако, при этом не учитываются свойства реальной системы, для которой характерно наличие еще двух сегментов (см. рис.8), что связано с ограниРис.П 1. Разбиение плоскости управляющих параметров системы Чуа на характерные режимы. 1 — устойчивая точка равновесия; 2 — цикл периода 1; 3 — цикл периода 2; 4 — цикл периода 4; 5 — аттрактор Ресслера;

6 — аттрактор double scroll.

–  –  –

Рис.П 9. Аттрактор типа double scroll. Аттракторы Ресслера настолько выросли в размерах, что столкнулись и образовали единый аттрактор.

Методика проведения эксперимента.

В процессе эксперимента предлагается исследовать свойства и динамику системы Чуа, используя набор электронной аппаратуры.

Измерение вольт-амперной характеристики производится по стандартной схеме. Для этого необходимо переключить тумблер «Работа — ВАХ» в положение «ВАХ», подать на вход диода Чуа напряжение с лабораторного источника питания и измерить напряжение на диоде и ток в цепи.

Для исследования динамики системы Чуа переключите тумблер «Работа — ВАХ» в положение «Работа» и, вращая ручки резистора и конденсатора на передней панели, пронаблюдайте фазовые портреты и временные зависимости в системе.

Меры предосторожности и безопасности Основным источником опасности в работе являются розетки и провода сети 220 в, а также части измерительных приборов, скрытые под корпусами, находящиеся при высоких напряжениях.

Как в типичном случае работы с электроприборами, при выполнении экспериментальных заданий следует работать одной рукой и не допускать контакта с заземленными предметами. При обнаружении нарушений в корпусах приборов, отсоединения заземляющих проводников или других нарушений установки следует работу прекратить и сообщить о неполадках преподавателю.

Контрольные вопросы

1. Выведите уравнение цепи Чуа и расскажите об особенностях этой схемы.

2. Как рассчитать основные параметры схемы Чуа?

3. Расскажите о принципе построения двухполюсников с отрицательным сопротивлением.

4. Рассчитайте все номиналы элементов, приведенных на схеме (рис.9).

5. Методика проведения эксперимента.

6. Меры предосторожности и правила техники безопасности при выполнении работы.

Задание по лабораторной работе.

1. Измерение вольтамперной характеристики диода Чуа.

1.1. Перевести тумблер «Работа — ВАХ» в положение «ВАХ».

1.2. Подать на вход диода Чуа (вход прибора VC1) напряжение с выхода блока питания, включить в цепь амперметр и снять по точкам ВАХ диода Чуа. Определить характеристики диода Чуа по ВАХ.

1.3. Определить по ВАХ параметры m0, m1, Bp.

2. Рассчитать все номиналы элементов схемы Чуа (рис.9) по описанной методике.

3. Экспериментальное исследование системы Чуа.

3.1. Перевести тумблер «Работа — ВАХ» в положение «Работа», подключить осциллограф к разъемам схемы и вращая ручки изменения резистора и конденсатора, найти значения C и R, при которых в системе Чуа наблюдаются аттрактор Ресслера и аттрактор «double scroll».

3.2. Исследование поведения цепи Чуа в зависимости от параметра R. Установить значение C около 800 пф и вращая ручку изменения R, пронаблюдать на экране осциллографа последовательность бифуркаций удвоения периода для аттрактора Ресслера. Бифуркационные значения записать и вычислить универсальную константу.

3.3. Экспериментально снять разбиение двумерной плоскости параметров «R—C» на характерные режимы.

Список литературы.

[1] Чуа Л.О. Генезис схемы Чуа.// Изв. вузов. Прикладная нелинейная динамика. 1993. — Т.1, №3-4. С.4—16.

[2] Сюсань У. Семейство схемы Чуа.// ТИИЭР. — 1987. — Т.75, №8. — С.55—65.

[3] Мацумото Т. Хаос в электронных схемах.// ТИИЭР. — 1987.

— Т.75, №8. — С.66—87.

________________________________________________________

–  –  –






Похожие работы:

«Федеральное агентство по рыболовству Федеральное государственное унитарное предприятие Всероссийский научно-исследовательский институт рыбного хозяйства и океанографии (ФГУП "ВНИРО") УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКОЕ ПОСОБИЕ для научных наблюдателей, работающих в зоне действия Конвенции по...»

«Методические рекомендации по внедрению и использованию свободного программного обеспечения в образовательных учреждениях Российской Федерации Москва Методические рекомендации по внедрению и использованию свободного программного обеспечения в образовательных учреждениях Российской Федерации – М: Минобр...»

«МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ ПО ВВЕДЕНИЮ ФГОС НОО № Вопрос Ответ 1. Какие нормативные 1.Приказ Министерства образования и науки Российской Федерации от 26 ноября 2010 года " О внесении документы определяет изменений в федеральный государственный образовательный стандарт основного общего образования, изменения в ФГОС утвержденны...»

«Методические рекомендации по использованию ЭФУ в общеобразовательных организациях в Московской области 1. Общие положения 3 2. Цели и задачи использование электронных форм учебников (ЭФУ) в образовательном процессе 4 2.1. Модель предоставления доступа к ЭФУ в Московской обла...»

«дисциплины/профессионального модуля; обязательное применение в преподавании дисциплины/профессионального модуля и отражение в УМК инновационных методов и технологий.2. Структура УМК дисциплины/профессионального модуля Минимальный состав УМК должен включать компоненты: примерную учебную программу...»

«ПРОЕКТ Методические рекомендации по проведению оценки личностных компетенций внутренних аудиторов в акционерных обществах с участием Российской Федерации Целью разработки данных методических рекомендаций явля...»

«Государственное автономное образовательное учреждение высшего образования города Москвы "МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ИНСТИТУТ ИНДУСТРИИ ТУРИЗМА имени Ю.А.СЕНКЕВИЧА" (ГАОУ ВО МГИИТ имени...»

«Государственное учреждение Областной социально-реабилитационный центр для несовершеннолетних "Добрый дом" Методические рекомендации по применению технологий работы с семьями и детьми, нуждающимися в с...»








 
2017 www.book.lib-i.ru - «Бесплатная электронная библиотека - электронные ресурсы»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.