WWW.BOOK.LIB-I.RU
БЕСПЛАТНАЯ  ИНТЕРНЕТ  БИБЛИОТЕКА - Электронные ресурсы
 
s

Pages:   || 2 |

«Задания. Решения. Комментарии Москва Издательство МЦНМО ББК 74.200.58 Т86 38-й Турнир имени М. В. Ломоносова 27 сентября 2015 года. Т86 Задания. Решения. ...»

-- [ Страница 1 ] --

XXXVIII Турнир имени М. В. Ломоносова

27 сентября 2015 года

Задания. Решения. Комментарии

Москва

Издательство МЦНМО

ББК 74.200.58

Т86

38-й Турнир имени М. В. Ломоносова 27 сентября 2015 года.

Т86 Задания. Решения. Комментарии / Сост. М. А. Зарубина. —

М.: МЦНМО, 2017. — 128 с.: ил.

ISBN 978-5-4439-1125-0

Приводятся условия и решения заданий Турнира с подробными комментариями (математика, физика, химия, астрономия и науки о Земле, биология,

история, лингвистика, литература, математические игры). Авторы постарались написать не просто сборник задач и решений, а интересную научно-популярную брошюру для широкого круга читателей. Существенная часть материала изложена на уровне, доступном для школьников 7-го класса.

Для участников Турнира и всех любознательных, учителей, родителей, руководителей школьных кружков, организаторов олимпиад.

ББК 74.200.58

Тексты заданий, решений, комментариев составили и подготовили:

А. В. Антропов (математика), П. М. Аркадьев (лингвистика), Е. В. Бакаев (математика), С. А. Бурлак (лингвистика), Е. А. Выродов (физика), Т. И. ГоленищеваКутузова (математика), К. С. Дербикова (биология), Т. В. Казицына (математика), М. В. Калинин (история), Н. М. Карасева (биология), Тамила Краштан (лингвистика), С. В. Лущекина (химия), Н. Ю. Медведь (математика), Г. А. Мерзон (математика), А. А. Морковин (биология), А. Ч. Пиперски (лингвистика), М. А. Раскин (математика), И. В. Раскина (математика, математические игры), А. М. Романов (астрономия и науки о Земле), З. П. Свитанько (химия), А. Н. Семёнов (биология), С. Г. Смирнов (история), Б. Р. Френкин (математика), О. Л. Хаит (математические игры), А. В. Хачатурян (математические игры), И. К. Чернышева (литература), Н. А. Шапиро (литература), А. В. Шаповалов (математика), И. В. Ященко (математика).

XXXVIII Турнир имени М. В. Ломоносова 27 сентября 2015 года был организован и проведён при поддержке Департамента образования города Москвы, компании «Яндекс», компьютерного супермаркета «Никс», Благотворительного фонда содействия образованию «Дар»

и благотворительного фонда Зиявудина Магомедова «ПЕРИ».

Все опубликованные в настоящем издании материалы распространяются свободно, могут копироваться и использоваться в учебном процессе без ограничений.

Желательны (в случаях, когда это уместно) ссылки на источник.

Электронная версия: http://www.turlom.info c Московский центр непрерывного ISBN 978-5-4439-1125-0 математического образования, 2015.

Предисловие Турнир имени М. В. Ломоносова — ежегодное многопредметное соревнование по математике, математическим играм, физике, астрономии и наукам о Земле, химии, биологии, истории, лингвистике, литературе.

Цель Турнира — дать участникам материал для размышлений и подтолкнуть интересующихся к серьёзным занятиям.

Задания ориентированы на учащихся 6–11 классов, однако в Турнире может принять участие любой школьник, даже и более младших классов. Только задания для них, возможно, покажутся несколько сложными. Программа во всех точках проведения Турнира одинакова. Конкурсы по всем предметам проводятся одновременно в разных аудиториях в течение 5 часов. Школьники (кроме учащихся 11 класса) имеют возможность свободно переходить из аудитории в аудиторию, самостоятельно выбирая предметы и решая, сколько времени потратить на каждый выбранный предмет. Учащиеся 11 классов получают все задания сразу и выполняют их, находясь всё время Турнира в одной аудитории.





Задания по всем предметам выполняются письменно (а по математическим играм, кроме того, в некоторых местах проведения Турнира организуется устный приём заданий для желающих школьников).

В настоящее время Турнир в соответствии с действующим Положением (опубликовано: http://olympiads.mccme.ru/turlom/polozhenije.pdf и http://turlom.olimpiada.ru/upload/files/pologenie.pdf) проводится ежегодно Московским центром непрерывного математического образования, Московским государственным университетом имени М. В. Ломоносова, Центром педагогического мастерства, Российской академией наук, Московским авиационным институтом (национальный исследовательский университет), Московским государственным технологическим университетом «СТАНКИН», другими образовательными учреждениями, научными и образовательными организациями. Координирует проведение Центр педагогического мастерства (ЦПМ). Бессменный председатель Оргкомитета Турнира — Николай Николаевич Константинов.

XXXVIII Турнир имени М. В. Ломоносова 27 сентября 2015 года был организован и проведён при поддержке Департамента образования города Москвы, компании «Яндекс», компьютерного супермаркета «Никс», Благотворительного фонда содействия образованию «Дар» и благотворительного фонда Зиявудина Магомедова «ПЕРИ».

Активное участие в проведении Турнира имени М. В. Ломоносова принимает Департамент образования города Москвы и, по его поручению (с 2013 года), Центр педагогического мастерства (ЦПМ).

Первый Турнир имени М. В. Ломоносова был организован в Москве в 1978 году. Традиционная дата проведения Турнира имени М. В. Ломоносова — последнее воскресенье перед первой субботой октября каждого учебного года.

XXXVIII Турнир имени М. В. Ломоносова состоялся в воскресенье 27 сентября 2015 года. Всего было организовано 425 пунктов проведения Турнира в 60 субъектах Российской Федерации, а также в Алматах, Байконуре, Бендерах, Гродно, Дойбанах, Кишинёве, Петропавловске, Тирасполе, Усть-Каменогорске и Шымкенте (посчитаны только те пункты, откуда на проверку в центральный оргкомитет в Москву поступила хотя бы одна работа).

Всего очное участие в Турнире приняли 76 075 учащихся, из них 12 075 были награждены грамотами за успешное выступление.

Класс 123 4 5 6 7 8 9 10 11 Иное Всего Участников 5 34 54 226 2026 9707 11257 12310 13628 12911 13864 53 76075 Грамот 1 2 8 56 517 1174 1988 2173 2444 1811 1900 1 12075 В таблице участники разделены по классам в соответствии с тем, по каким критериям оценивались их результаты. Если по месту учёбы участника используется не традиционная для российских школ нумерации классов «1–11», а какая-либо другая, для участника определялся наиболее подходящий номер класса по возрасту и учебной программе.

Всего было сдано участниками и проверено 160 510 работ по различным предметам.

Традиционно среди участников не определяются лучшие (1-е, 2-е и 3-е места). Грамотами с формулировкой «За успешное выступление на конкурсе по... (предмету)» награждались все школьники, успешно справившиеся с заданием по этому предмету (или по нескольким предметам — тогда все эти предметы перечисляются в грамоте).

Ещё одна традиция Турнира — балл многоборья. Он даётся за «промежуточные» результаты по предметам, когда в работе достигнуты определённые успехи, но грамоту за этот предмет участник не получил. Если у одного участника окажется 2 или больше таких баллов, его участие в конкурсах по разным предметам будет отмечено грамотой «за успешное выступление по многоборью». Также за успешное выступление по многоборью награждаются школьники 5 класса и младше (выступавшие наравне со старшеклассниками), получившие только один балл многоборья.

Всего грамотами за успешное выступление было награждено 12 075 участников Турнира. Эти участники представляют 1699 школ самых разных регионов. Больше всего грамот (231) получили участники из физико-математической школы № 2007 города Москвы. Также по количеству грамот «выделились» следующие школы: лицей «Вторая школа»

города Москвы (179 грамот), лицей № 1568 имени Пабло Неруды города Москвы (166 грамоты), Губернаторский физико-математический лицей № 30 города Санкт-Петербурга (154 грамоты), СУНЦ МГУ (139 грамот), школа № 179 МИОО (134 грамоты).

Все материалы Турнира имени М. В. Ломоносова (выданные школьникам задания, результаты проверки работ участников, статистические данные, ответы и решения с комментариями, критерии проверки работ, критерии награждения, списки участников, награждённых грамотами за успешное выступление, Положение о Турнире) занимают достаточно большой объём, не все они поместились в настоящую книжку. С этими материалами можно ознакомиться на сайте http://www.turlom.olimpiada.ru (публикация всех материалов, прозрачность при подведении итогов — один из основных принципов работы организаторов Турнира). Там же опубликована и электронная версия сборника заданий, предисловие к которому вы сейчас читаете.

В данном сборнике содержатся все задания, ответы и комментарии к ним всех конкурсов по разным предметам XXXVIII Турнира имени М. В. Ломоносова, состоявшегося 27 сентября 2015 года, а также статистика результатов, дающая представление о вариантах по предметам в целом и отдельных заданиях с точки зрения школьников (насколько эти задания оказались сложными, интересными и удачными). Отметим наиболее интересные задания и темы.

В задаче № 9 конкурса по математике предлагалось разрезать правильный тетраэдр на равные шестигранники. Оказывается, это можно сделать совершенно разными способами, в том числе так, чтобы части были похожи на кубы.

На конкурсе по математическим играм участникам предлагалось вдуматься в правила предлагаемых игр для двух соперников и найти за одного из них (начинающего или делающего второй ход) выигрышную стратегию. Источником вдохновения для авторов задания № 2 («Фрукты») послужила задача с национальной олимпиады Аргентины 2009 года. Общее решение этой игры известно, но оно довольно сложное.

Участникам понравилась и игра № 1 («Метро»), относящаяся к играм на графах. Она была придумана как вариация классической несложной игры (так называемой игры Баше), но для этой новой задачи авторы (и участники) сумели найти решение только в некоторых «симметричных»

случаях, а как решить её в общем виде, пока что непонятно.

Задания конкурса по биологии предлагали участникам поразмышлять о разных способах зимовки животных, почему окраска насекомых такая разная и для чего это нужно, а также как можно узнать возраст животного или растения.

Самой неочевидной с точки зрения решения из задач конкурса по физике была задача № 7 про принцессу и лестницу. Довольно сложно было понять из условия, что лестница должна выдержать целых три своих веса! Буквально единицы смогли решить эту задачу на полный балл, хотя для решения необходимо было лишь грамотно записать второй закон Ньютона для верхней точки. Еще довольно сложным для школьников оказалось то, что масса сосредоточена не в точке, а распределена равномерно по всей лестнице.

Решая задачи конкурса по лингвистике, участники узнали о том, что в тамильском языке, на котором говорят в Индии и на Шри-Ланке, числа обозначаются тамильскими буквами справа налево по разрядам.

В задаче № 3 предлагалось разобраться в литовских местоимениях, выбор формы которых зависит не только от того, относятся они к двум говорящим или более, но и от пола говорящих.

Задачи конкурса по истории были посвящены различным эпохам, от Древнего Египта до конца XX века. Особенно неожиданными были вопросы о фотокорреспонденте Викторе Тёмине и Нобелевском лауреате Лоуренсе Брэгге.

Большая часть заданий конкурса по астрономии и наукам о Земле была посвящена полному лунному затмению, которое можно было наблюдать сразу на следующий день после Турнира, 28 сентября 2015 года.

Тексты решений заданий конкурса по литературе в основном подготовлены не жюри, а написаны самими участниками в конкурсных работах. Участники в рамках заданий могли самостоятельно придумать своё стихотворение и даже стихотворную загадку. Жюри подбирало для публикации наиболее удачные, точные, содержательные и интересные ответы, а также сопроводило их уточнениями и комментариями. Как показывает опыт, серьёзные литературоведческие тексты, написанные взрослыми, с точки зрения школьников часто оказываются сложными для чтения и понимания, а иногда и просто скучными. Литературный конкурс Ломоносовского турнира предоставляет уникальную возможность исправить эту ситуацию. Среди работ более десяти тысяч участников из разных классов, разных школ и регионов обязательно находятся очень хорошие работы. Собранные вместе, они позволяют составить решения намного лучше, понятнее и интереснее для школьников, чем это получилось бы у жюри самостоятельно.

На сайте http://turlom.olimpiada.ru с 10 июня по 10 сентября 2015 года принимались в электронной форме заявки от всех желающих организаций, готовых организовать и провести Турнир на своей территории в любом регионе (как в Российской Федерации, так и за её пределами).

Большинство заявок на проведение Турнира было удовлетворено.

XXXVIII Турнир имени М. В. Ломоносова состоялся в воскресенье, 27 сентября 2015 года, в 224 населённых пунктах (в скобках указано количество мест проведения там, где их было более одного).

Республика Адыгея: Майкоп.

Республика Башкортостан: Уфа (6), Кумертау, Октябрьский, Стерлибашево, Стерлитамак, Туймазы, Учалы.

Республика Бурятия: Сухая.

Республика Алтай: Горно-Алтайск.

Республика Дагестан: Махачкала.

Республика Калмыкия: Элиста.

Республика Карелия: Петрозаводск.

Республика Коми: Сыктывкар, Воркута, Печора.

Республика Мордовия: Саранск (6).

Республика Саха — Якутия: Якутск (15), Амга (3), Бердигестях (3), Верхневилюйск, Диринг, Казачье, Майя (2), Малыкай, Мохсоголлох, Намцы (2), Нерюнгри (4), Нижний Бестях (2), Нюрба, Олёкминск, Оленёк, Покровск, Синск, Среднеколымск, Сунтар, Удачный, Улахан Ан, Усун-Кюель, Хонуу, Чапаево, Ытык-Кюель (2).

Республика Северная Осетия — Алания: Владикавказ (3).

Республика Татарстан: Казань (5), Арск, Лениногорск, Набережные Челны (5), Нижнекамск.

Удмуртская республика: Ижевск (2), Сарапул.

Республика Чувашия: Чебоксары (4).

Алтайский край: Горняк.

Краснодарский край: Краснодар (6), Армавир, Ейск (2), Ладожская, Новороссийск, Славянск-на-Кубани, Сочи (2), Усть-Лабинск, Всероссийский детский центр «Орлёнок».

Красноярский край: Красноярск (5), Ачинск, Железногорск, Канск, Невонка.

Приморский край: Владивосток.

Ставропольский край: Пятигорск, Левокумское.

Хабаровский край: Хабаровск, Амурск.

Астраханская область: Астрахань (3), Началово.

Белгородская область: Белгород (2), Старый Оскол (3).

Брянская область: Брянск (10), Гордеевка, Локоть, Навля, Новозыбков, Погар, Сураж, Шеломы.

Владимирская область: Владимир, Гусь-Хрустальный (2), Ковров, Лакинск.

Волгоградская область: Волгоград (11), Волжский (2), Южный.

Вологодская область: Череповец.

Ивановская область: Иваново (3).

Иркутская область: Иркутск, Братск.

Калининградская область: Балтийск, Зеленоградск, Светлый, Советск, Черняховск.

Кемеровская область: Кемерово, Белово, Ленинск-Кузнецкий, Новокузнецк, Прокопьевск.

Костромская область: Кострома (2), Волгореченск.

Курганская область: Лесниково.

Курская область: Курск, Железногорск, Курчатов.

Ленинградская область: Отрадное.

Липецкая область: Липецк, Елец.

Московская область: Веледниково, Видное (2), Деденево, Дмитров (5), Дубна, Железнодорожный (4), Жуковка, Икша, Истра, Кашира, Клин (3), Коломна, Королёв, Красногорск, Краснознаменск, Люберцы, Мытищи (3), Озёры, Орехово-Зуево (2), Петрово-Дальнее, Подольск, Протвино, Пущино, Раменское (2), Сергиев Посад, Ступино, Фрязино, Химки (4), Черноголовка, Электросталь (5).

Мурманская область: Мурманск (3), Апатиты, Кандалакша, Полярные Зори.

Нижегородская область: Нижний Новгород (6), Ковернино, Павлово, Саров.

Новосибирская область: Новосибирск, Кольцово.

Оренбургская область: Оренбург (5), Воздвиженка, Саракташ.

Орловская область: Орёл.

Пензенская область: Заречный, Сердобск, Сурск.

Пермский край: Пермь, Березники (3).

Псковская область: Псков.

Ростовская область: Ростов-на-Дону, Волгодонск (3), Таганрог, Шебалин.

Самарская область: Самара (3), Кинель-Черкассы, Клявлино, Октябрьск, Тольятти, Пронино.

Саратовская область: Саратов.

Свердловская область: Екатеринбург, Берёзовский, Каменск-Уральский, Камышлов, Новоуральск.

Тверская область: Тверь, Кимры (2), Нелидово, Ржев.

Томская область: Томск (2).

Тюменская область: Тюмень (3), Ныда, Уват.

Ульяновская область: Ульяновск (2).

Челябинская область: Челябинск (9), Златоуст, Копейск, Магнитогорск, Миасс (2).

Забайкальский край: Чита.

Республика Крым: Ленино, Феодосия.

Ханты-Мансийский автономный округ: Ханты-Мансийск (2), Коммунистический, Нижневартовск.

Ямало-Ненецкий автономный округ: Салехард (3), Губкинский, Муравленко (2), Надым, Новый Уренгой, Ноябрьск (2).

Москва (87).

Санкт-Петербург (7).

Севастополь.

Республика Беларусь: Гродно.

Республика Казахстан: Алматы, Байконур, Усть-Каменогорск, Шымкент.

Республика Молдова: Кишинёв и города Приднестровской республики: Бендеры (3), Дойбаны, Тирасполь (2).

В Москве Турнир проводился в вузах (МГУ, МАИ, МИРЭА, МПГУ, НИУ ВШЭ, СТАНКИН), а также в школах, гимназиях, лицеях № 45, 57, 91, 152, 158, 323, 444, 463, 548 (2), 799, 830, 853, 856, 950, 979, 1018, 1106, 1173, 1222, 1231, 1234, 1273, 1357 (3), 1359, 1363, 1368, 1376, 1387, 1392, 1506, 1511, 1516, 1534, 1537, 1540, 1544, 1547, 1557, 1564, 1567, 1568, 1571, 1580, 1581, 1595, 1602, 1619, 1637, 1747, 1788, 1905, 1981, 2005, 2007, 2017, 2026, 2045, 2065, 2070, 2086, 2098, 2100, 2101 (2), 2105, в школе «Интеллектуал», в Курчатовской школе, лицеях «Вторая школа»

и НИУ ВШЭ, СУНЦ МГУ, Образовательном комплексе «Юго-Запад»

и Лицее города Троицка города Москвы. (Школы и вузы, проводившие Турнир в нескольких своих зданиях, в списке указаны один раз.) Также Турнир впервые проходил в Российской детской клинической больнице, Федеральном научно-клиническом центре детской гематологии, онкологии и иммунологии имени Дмитрия Рогачёва (для детей, находящихся на лечении в этих организациях), а также в Школе-интернате № 1 для обучения и реабилитации слепых для детей.

Список мест проведения XXXVIII Турнира имени М. В. Ломоносова 27.09.2015 с информацией для участников опубликован по адресу:

http://reg.olimpiada.ru/register/turlom-2015-places/public-list/default, карта мест проведения: https://old.maps.yandex.ru/-/CVg-aQo5.

В существенной части регионов Российской Федерации все желающие школьники получили реальную возможность принять участие в Турнире и воспользовались такой возможностью. Надеемся, что учителя и энтузиасты работы со школьниками — организаторы Турнира в регионах — также получили ценный опыт от проделанной работы.

Для всех желающих участников Турнира организована возможность просмотреть на сайте Турнира свои отсканированные работы и подробную информацию о проверке своих работ. Для этого предлагалось и было необходимо заранее скачать с сайта Турнира специальные бланки для выполнения работ, самостоятельно напечатать их на принтере и принести с собой на Турнир. Эти бланки, содержащие специальные машиночитаемые идентификационные коды, сканировались, автоматически сортировались и проверялись жюри на экране компьютера.

Каждый школьник, зная номер своего бланка, может просмотреть оригинальные файлы, полученные при сканировании работ. Все остальные работы, выполненные на обычной бумаге, не сканировались (ввиду отсутствия технической возможности сканирования такого количества работ) и проверялись как обычно.

Открытая публикация полных результатов — ещё одна из традиций Турнира. Именно на этом этапе выясняется и исправляется большое количество недоразумений и ошибок.

Полная итоговая таблица результатов Турнира опубликована по адресу http://turlom.olimpiada.ru/results-2015. Она содержит номера регистрационных карточек участников, класс и полный набор оценок каждого участника (по каждому заданию каждого предмета). По желанию участников (ответ на соответствующий вопрос в регистрационной анкете) в таблице также указывается фамилия, имя и школа.

Там же приведён список участников, награждённых грамотами за успешное выступление: http://turlom.olimpiada.ru/gramota-2015.

Торжественное закрытие Турнира, вручение грамот и призов школьникам, принимавшим участие в Турнире в Москве и Московской области, состоялось 17 января 2016 года в Московском государственном университете. По традиции собравшимся школьникам были прочитаны лекции по материалам заданий Турнира (по астрономии и истории). Призёров Турнира поздравили представители Московского государственного университета и Департамента образования города Москвы.

Оргкомитет благодарит всех, кто в этом году принял участие в организации Турнира. По нашим оценкам это более 2000 человек — сотрудники и руководители принимающих организаций, школьные учителя, студенты, аспиранты, научные работники и многие другие — все принимавшие участие в составлении и обсуждении заданий, организации Турнира на местах, дежурстве в аудиториях, проверке работ, организации торжественного закрытия, подготовке к печати настоящего сборника материалов Турнира.

Электронная версия настоящего издания, а также материалы Турнира имени М. В. Ломоносова 2015 года приведены на официальном сайте Турнира http://turlom.olimpiada.ru/38turnir.

Архив материалов предыдущих лет опубликован в Интернете по следующим адресам:

http://turlom.olimpiada.ru, http://turlom.info, http://www.mccme.ru/olympiads/turlom.

Все материалы Турнира распространяются без ограничений и могут свободно использоваться в образовательных целях.

Конкурс по математике Задания В скобках указано, каким классам рекомендуется задача (решать задачи более старших классов также разрешается, решение задач более младших классов при подведении итогов не учитывается).

1. (6–10) Для ремонта пропеллера Карлсону необходимо купить 3 лопасти и 1 винтик. В магазине продаются лопасти по 120 тугриков и винтики по 9 тугриков. Но после покупки не менее чем на 250 тугриков дают скидку 20 % на все следующие покупки. Сможет ли Карлсон отремонтировать пропеллер, если у него с собой только 360 тугриков?

2. (6–7) На верхней грани кубика 3 3 3 к центральному квадрату 11 приклеили кубик 111. Как разделить получившуюся фигуру на 7 равных? (Один из способов записать ответ — нарисовать отдельно каждый слой фигуры: нижний, средний, верхний и самый верхний кубик — и на каждом кубике написать номер части, к которой он относится.) 3. (6–8) У каждого из художников творческого объединения «Терпение и труд» свой рабочий график. Шестеро из них пишут по одной картине раз в два дня, ещё восемь художников — по одной картине раз в три дня, остальные не пишут картин никогда. С 22 по 26 сентября они написали в общей сложности 30 картин. Сколько картин они напишут 27 сентября?

a 4. (8–9) Среди чисел a + b, a b, a · b, два положительных и два отриb цательных. Является ли число b положительным или отрицательным?

5. (8–9) На землю положили квадратную раму, в центре квадрата установили вертикальный шест. Когда на эту конструкцию сверху натянули ткань, получилась маленькая палатка. Если положить рядом вплотную две такие же рамы, в центре каждой поставить вертикальный шест той же длины и натянуть сверху ткань, получится большая палатка. На маленькую палатку ушло 4 квадратных метра ткани. А сколько ткани потребуется для большой палатки?

6. (10–11) Шесть равносторонних треугольников расположены, как на рисунке. Докажите, что сумма площадей заштрихованных треугольников равна сумме площадей закрашенных треугольников.

7. (10–11) Первый член бесконечной арифметической прогрессии из натуральных чисел равен 1. Докажите, что среди её членов можно найти 2015 последовательных членов геометрической прогрессии.

8. (10–11) В зоопарке жили 200 попугаев. Однажды они по очереди сделали по одному заявлению. Все заявления начиная со 2-го были следующими: «Среди сделанных ранее заявлений ложных — более 70 %».

Сколько всего ложных заявлений сделали попугаи?

9. (11) Разрежьте правильный тетраэдр на равные многогранники с 6 гранями.

Решения к заданиям конкурса по математике Задача 1. Ответ. Да, сможет.

Решение. Пусть первой покупкой Карлсон приобретёт 2 лопасти и 2 винтика, потратив 2 · 120 + 2 · 9 = 258 тугриков. Поскольку стоимость покупки больше 250 тугриков, третью лопасть Карлсон может приобрести со скидкой 20 %, потратив 120 · 0,8 = 96 тугриков. Итак, суммарно Карлсон потратит 258+96 = 354 тугрика и приобретёт все необходимые для ремонта детали.

Замечание. Найти стоимость лопасти со скидкой можно по-другому:

10 % от 120 тугриков — это 12 тугриков, поэтому 20 % — это 24 тугрика, откуда стоимость лопасти со скидкой равна 120 24 = 96.

Задача 2. Решение. Например, так:

нижний слой средний слой верхний слой верхний кубик

Каждая фигурка с номером от 1 до 7 представляет из себя букву “Г”.

Комментарий. Жюри неизвестны разрезания на другие виды фигурок (в том числе на фигуры, не являющиеся объединением целых кубиков).

Задача 3. Ответ.

4 картины.

Решение. Посмотрим, сколько картин напишут художники с 22 по 27 сентября включительно.

Каждый из шести художников, которые пишут по одной картине раз в два дня, напишет по 3 картины (по одной в каждую пару дней 22–23, 24–25 и 26–27), а каждый из восьми, которые пишут по одной картине раз в три дня, — по 2 картины (по одной в каждую тройку дней 22–23–24 и 25–26–27).

Таким образом, суммарно художники напишут 6 · 3 + 8 · 2 = 34 картины. Поскольку по условию с 22 по 26 сентября они написали 30 картин, 27 сентября они напишут 34 30 = 4 картины.

Задача 4. Ответ.

Отрицательным.

a Решение. Числа a · b и одного знака. Следовательно, a + b и a b b имеют другой знак. Поскольку a находится между ними, a тоже имеет a этот знак. Таким образом, a · b (и ) — другого знака, чем a. Это ознаb чает, что b отрицательно.

Задача 5. Ответ.

8 кв. м.

Решение. Проведем на ткани линии так, как показано на левом рисунке. Заметим, что если переложить два треугольника, то получатся две палатки, равные маленькой палатке. Поэтому ответ 2 · 4 = 8.

Замечание. Доказывать, что треугольники равны, можно примерно следующим образом (от участников такие рассуждения не требовались).

X Y F E D K L A B C Обозначим точки так, как показано на картинке. Заметим, что для треугольников AKX и BKX сторона KX общая, AK = BK, а также AKX = BKX = 90 (в силу вертикальности установленного шеста).

Поэтому треугольники AKX и BKX равны по двум сторонам и углу между ними, и AX = BX. Аналогично получаем, что BX = BY.

Дальше, несложно видеть, что KL = AB, например, потому, что отрезки AK и BL равны и параллельны. Поэтому четырехугольник ABLK — пареллелограмм.

Наконец, отрезки KX и LY равны по длине и расположены вертикально, поэтому KXY L — прямоугольник и XY = KL = AB.

Таким образом, можно видеть, что все треугольники ABX, BXY, Y BC, Y CD, Y DE, EXY, XEF, XF A, BEX, BEY равны по трем сторонам. Маленькая палатка состояла из четырех таких треугольников, а большая — из восьми.

Задача 6. Решение.

Обозначим вершины так, как показано на картинке. Заметим, что OA = OX, OB = OY, а AOB + XOY = = 360 AOX BOY = 360 60 120 = 180, откуда cos XOY = = cos(180 AOB) = cos AOB.

–  –  –

Поскольку площадь равностороннего треугольника со стороной t t2, достаточно доказать, что AB 2 + XY 2 = 2(AO2 + BO2 ).

равна По теореме косинусов для треугольников AOB и XOY имеем AB 2 = OA2 + OB 2 2OA · OB · cos AOB, XY 2 = OX 2 + OY 2 2OX · OY · cos XOY.

Складывая эти два равенства, получаем требуемое.

Задача 7. Решение.

Пусть разность прогрессии равна a1 (т. е. второй член прогрессии равен a). Покажем, что тогда среди её членов можно найти числа 1, a, a2, a3,..., a2014, из чего очевидно следует утверждение задачи.

Действительно, поскольку ak = 1 + (a 1)(1 + a + a2 +... + ak1 ), число ak встретится в исходной арифметической прогрессии на месте с номером 2 + a +... + ak1.

Задача 8. Ответ.

140.

Решение. Заметим, что если 1-е утверждение было истинным, то 2-е будет ложным, и наоборот, если 1-е утверждение было ложным, то 2-е будет истинным. Поскольку истинность утверждения зависит лишь от количества ложных утверждений среди предыдущих, истинность всех оставшихся заявлений не зависит от того, каким было первое утверждение.

Поэтому, не умаляя общности, будем считать, что оно было ложным, и выпишем истинность первых одиннадцати утверждений:

Л, И, Л, Л, И, Л, Л, И, Л, Л, Л,...

Заметим, что среди первых 10 утверждений ровно 7 ложных, поэтому 11-е утверждение будет ложным. Истинность следующих утверждений не изменится, если мы будем считать процент ложных утверждений начиная с 11-го. Действительно, если среди какого-то набора утверждений ложных более 70 %, то после добавления ещё 7 ложных утверждений и 3 истинных общее количество ложных останется больше 70 % (см. комментарий). То же самое справедливо для наборов, где ложных утверждений менее 70 % или ровно 70 %.

Таким образом, следующие 10 утверждений полностью повторят первые 10, т. е. среди первых 20 утверждений ровно 14 ложных. Повторив данное рассуждение еще раз, получим, что истинность утверждений с 21-го по 30-е совпадает с истинностью соответствующих утверждений с 1-го по 10-го.

Повторяя это рассуждение еще несколько раз, в конце концов мы получим 200 утверждений, среди которых ровно 140 ложных.

Комментарий. Возможно, данное утверждение станет интуитивно очевиднее в формулировке про смеси: если к раствору с концентрацией более 70 % добавить раствор с концентрацией ровно 70 %, то получится раствор с концентрацией более 70 %.

Приведем и чисто алгебраическое доказательство: пусть 0,7 — доля ложных утверждений в каком-то наборе, N — количество утверждений в этом наборе, тогда L = N — количество ложных утверждений в данном наборе, откуда L + 7 = N + 0,7 · 10 0,7 · (N + 10).

Идея второго решения. Заметим, что с каждым новым утверждением 70 % от числа произнесенных утверждений увеличивается на 0,7. При этом если число ложных утверждений к этому моменту было больше 70 %, то количество ложных высказываний не меняется, а если меньше или равно 70 %, то увеличивается на 1.

Поэтому количество ложных утверждений и 70 % от количества всех утверждений всегда отличаются строго меньше чем на 1. В частности, спустя 200 утверждений число ложных утверждений должно отличаться от 0,7 · 200 = 140 строго меньше чем на 1, а такое целое число ровно одно: 140.

Комментарий. Можно заметить, что идеи, возникающие во втором решении, позволяют доказать и более общие утверждения. Например, если все заявления начиная с некоторого были «Среди сделанных ранее заявлений доля ложных больше p/q», то в какой-то момент доля ложных заявлений станет равна p/q.

Задача 9. Решение.

Приведем примеры, в которых правильный тетраэдр разрезается на 2, на 3 и на 4 равных шестигранника (есть и другие примеры; участникам достаточно было привести один пример).

Разрезание на 2 части. Возьмем центр правильного тетраэдра и соединим его с каждой из вершин. Получится разрезание тетраэдра на 4 равные правильные пирамиды, у каждой из которых по 4 грани. Если объединить эти части по две, получатся два равных шестигранника.

Разрезание на 3 части. Разрежем правильный треугольник на 3 равных пятиугольника (см. рисунок). Пятиугольники равны, так как они совмещаются поворотом на 120. Если взять такую картинку в основании тетраэдра и соединить оставшуюся вершину тетраэдра с каждой из вершин пятиугольников, то получится разрезание тетраэдра на 3 равных шестигранника (каждый из которых является невыпуклой пирамидой).

Разрезание на 4 части. Во всех предыдущих решениях части-шестигранники были невыпуклыми, но можно разрезать тетраэдр и на равные выпуклые шестигранники.

Соединим сначала на каждой из граней центр с серединой каждого ребра грани. Грани окажутся разбиты на равные четырехугольники.

Теперь соединим центр тетраэдра со всеми центрами граней — и получится разбиение тетраэдра на 4 равных шестигранника с четырехугольными гранями. (Центр тетраэдра, центры двух граней и середина их общего ребра лежат в одной плоскости — а именно, в плоскости, проходящей через середину ребра и содержащей противоположное ребро.)

Задания для конкурса по математике составили:

А. В. Антропов, Е. В. Бакаев, Т. И. Голенищева-Кутузова, Т. В. Казицына, Н. Ю. Медведь, Г. А. Мерзон, М. А. Раскин, И. В. Раскина, Б. Р. Френкин, А. В. Шаповалов, И. В. Ященко.

Критерии проверки и награждения

По результатам проверки каждого задания ставилась одна из следующих оценок (перечислены в порядке убывания):

«+» — задача решена полностью;

«±» — задача решена с недочётами, не влияющими на общий ход решения;

« » — задача не решена, но имеются содержательные продвижения;

«» — задача не решена;

за задачу, к решению которой участник не приступал, ставился «0».

Так как по одному ответу типа «да/нет» невозможно определить, в какой степени участник решил задачу, за ответ такого типа без решения ставится оценка «».

Комментарии по задачам Задача 1.

• Есть верная идея покупки 2 лопастей и 2 винтов, но при вычислении процентов от числа допущена ошибка — « ».

• Есть верная идея покупки 2 лопастей и 2 винтов, но решение содержит арифметическую ошибку при сложении или вычитании чисел (не при вычислении процентов) — «±».

• В тексте верно описано, что и в какой последовательности нужно покупать, но нет вычислений, подтверждающих, что денег действительно хватит — «±».

Задача 3.

• Приведен конкретный график работы художников, удовлетворяющий условию, и получен верный ответ — « ».

• Верный ответ и, возможно, не очень понятный набор вычислений — « ».

• Верный ответ и набор вычислений без пояснений, который очевидным образом можно дополнить пояснениями до верного (вроде 6·3+8·2 = 34, 34 30 = 4) — «±».

• Арифметическая ошибка в верной последовательности вычислений 6 · 3 + 8 · 2 30 — «±».

• Вместо количества картин, написанных 27 сентября, найдено количество картин, написанных с 22 по 27 сентября — «±».

Задача 4.

• За нерассмотренные случаи значений a и b, при которых хотя бы одно из выражений обращается в ноль (например, a = 0, |a| = |b|), оценка не снижается.

• Если в решении доказано, что b не может быть положительным, откуда делается вывод, что b отрицательно, то такое решение считается верным.

• Только верный ответ b 0 — «».

• Ошибки при разборе случаев, и получен неверный ответ — «».

• Пример подходящих значений a и b (a = 3, b = 2 или b 0, a b), на основании которого утверждается, что b 0 — « ».

• Разобраны не все случаи, или некоторые случаи разобраны с ошибками, при этом получен верный ответ и в тексте решения присутствуют конкретные значения a и b или множества значений (например, a 0, b 0, |a| |b|), удовлетворяющие условию задачи — « ».

Задача 5.

• Только верный ответ 8 — « ».

• Ход решения верный, но решение содержит арифметическую ошибку или неверные формулы для вычисления площади, из-за которых, возможно, получен неверный ответ — « ».

• Нарисовано разрезание боковой грани большой палатки на три треугольника, равных боковой грани меньшей палатки, и получен верный ответ — «±».

• Утверждается, что площадь боковой грани большой палатки втрое больше площади боковой грани малой палатки, но нет рисунка с разрезанием трапеции на три треугольника (или строгого описания того, как это разрезание получить) — « ».

• Задача верно решается в предположении, что палатка обтягивается тканью еще и снизу — «±».

Задача 6.

• В решении получена или используется неверная формула для площади правильного треугольника, в остальном доказательство верное — «±».

Задача 7.

• На основании рассмотрения конкретных примеров или вообще без каких-то пояснений утверждается, что подойдет q = d + 1 — « ».

Задача 8.

• Только лишь верный ответ — « ».

• Верный ответ и наличие недоказанных утверждений вроде «в каждом десятке количество правдивых и лживых заявений равно 3 и 7 соответственно», «ответы во всех десятках одинаковы», «если 70 % от числа попугаев — целое число, то лживых ответов будет ровно 70 %» и проч — « ».

Задача 9.

• Получено одно из верных разрезаний, быть может, без обоснования равенства многогранников — «+».

Критерии награждения При награждении учитывались только задачи своего и более старших классов. Задачи, предназначенные для более младших классов (чем тот, в котором учится участник Турнира), проверялись и оценивались, но не учитывались при награждении (в таблице результатов они идут с пометкой «мл. кл.») При подведении итогов решёнными считаются задачи, за которые выставлены оценки «+» и «±».

Оценки «e» и «v» ставились в соответствии с таблицей (нужно было решить количество задач не менее указанного в таблице):

–  –  –

Пояснение: сначала проверяются на критерии задачи своего класса, а потом класса выше. Например, если участник 8, 9 или 10 класса решил задачу 11 класса (6–9 задачи), то ему даётся грамота по многоборью.

В случае, если поставлена оценка «v», оценка «e» не ставится.

Статистика Приводим статистику решаемости задач конкурса по математике. Такая статистика даёт интересную дополнительную информацию о задачах (и задании конкурса по математике в целом): насколько трудными оказались задачи, какие задачи оказались наиболее предпочтительными для школьников, и т. п.

Учтены все работы по математике, сданные школьниками (в том числе и нулевые). Школьники, не сдавшие работ по математике, в этой статистике не учтены.

Сведения о количестве школьников по классам, получивших грамоту по математике («v»), получивших балл многоборья («e»), а также общем количестве сданных работ по математике.

–  –  –

Сведения о распределении оценок по задачам. Оценки «+» и «±»

считались как по классам, для которых рекомендована задача, так и по младшим классам; оценки « », «» и «0» считались только по классам, соответствующим задаче.

–  –  –

Сведения о количестве решённых задач участниками разных классов (решёнными в данной таблице считаются задачи своего или более старшего класса, за которые поставлены оценки «+» и «±»).

–  –  –

Конкурс по математическим играм Условия игр Выберите игру, которая вас больше заинтересовала, и попробуйте придумать для одного из игроков (первого или второго) стратегию, гарантирующую ему победу независимо от ходов соперника. Постарайтесь не только указать, как следует ходить, но и объяснить, почему при этом неизбежен выигрыш. Ответ без пояснений не учитывается.

Не пытайтесь решить все задания, сохраните время и силы для других конкурсов. Хороший анализ даже только одной игры позволит считать ваше участие в конкурсе успешным.

1. «Метро». В некотором городе есть метро (см. схемы: точками обозначены станции, а линиями — перегоны между ними). Два подрядчика, фирмы «Альфа» и «Бета», играют в интересную игру, по очереди закрывая перегоны на ремонт. За один ход разрешается закрыть любое количество перегонов, отходящих от одной станции. При этом нужно, чтобы всегда оставалась возможность проехать по незакрытым перегонам от любой станции к любой другой. Начинает игру «Альфа». Тот, кто не может сделать ход, проигрывает. Кто — «Альфа» или «Бета» — победит в этой игре, как бы ни играл партнёр? Рассмотрите случаи:

а) 4 станции, соединённые друг с другом (рис. 1);

б) одна «кольцевая линия» с N 3 станциями и одна станция в центре (на рис. 2 пример для N = 12);

в) схема в виде «полоски» из N квадратиков (на рис. 3 пример для N = 9);

г) 8 станций, соединённых так, как показано на рис. 4;

д) 10 станций, соединённых так, как показано на рис. 5.

–  –  –

2. «Фрукты». На столе лежат a апельсинов, b бананов и c слив. За один ход надо съесть два разных фрукта. Кто не может сделать ход, тот проиграл. Кто — начинающий или его соперник — победит в этой игре, как бы ни играл партнёр? Рассмотрите случаи:

а) a = 1 (кто выигрывает в зависимости от b и c?);

б) a = 6, b = 8, c = 10;

в) a = 7, b = 9, c = 15;

г) a = 19, b = 20, c = 21.

3. «Одинокий крестик». Дан клетчатый прямоугольник. Сначала первый игрок помечает крестиком любую клетку. После этого второй игрок делает ход: разрезает прямоугольник на два прямоугольника по любой линии сетки, часть с крестиком выбрасывает, а на оставшейся части ставит свой крестик в любой клетке. Затем свой ход делает первый игрок: разрезает оставшуюся часть по любой линии сетки, часть с крестиком соперника выбрасывает, а на новом остатке ставит свой крестик. Игроки делают такие ходы по очереди. Кто не сможет сделать ход, проигрывает.

Кто — начинающий или его соперник — победит в этой игре, как бы ни играл партнёр? Рассмотрите игру для прямоугольников следующих размеров:

а) 3 10; б) 4 n; в) 5 n; г) 7 7; д) n n; е) m n.

Решения 1. «Метро».

Изложим решение на языке теории графов, называя, как это принято, станцию метро вершиной графа, а перегон — ребром. Для наглядности будем закрытый перегон просто удалять, стирая со схемы.

Укажем два важных наблюдения, очень упрощающих анализ игры.

Первое состоит в том, что если образовалась тупиковая вершина A (из которой выходит только одно ребро AB), то это ребро никто из игроков удалить не может, а также не может удалить все рёбра из B, оставив лишь AB. В поездках по графу, не связанных с вершиной A, также не может использоваться ребро AB. Поэтому игра на таком графе эквивалентна игре на графе, который получается, если стереть и ребро AB, и саму вершину A. Такое преобразование назовём «удалением тупика».

Второе соображение, вытекающее из предыдущего, таково: если образовалась вершина A, из которой ведут ровно два ребра AB и AC, то можно упростить граф, убрав A и соединив B и C напрямую ребром.

Такое преобразование назовём «удалением проходной вершины».

Теперь перейдём к решению.

а) Победит «Бета». Все вершины равноправны (как и все рёбра из одной вершины), так что у «Альфы» лишь два хода — стереть одно или два ребра из какой-то вершины. Легко видеть, что «Бета» на каждый из них ответит так, что останется три ребра, ни одно из которых стереть нельзя.

б) При N = 3 победит «Бета», так как эта схема точно такая же, как в пункте a): четыре вершины, и все со всеми соединены рёбрами.

При N 3 победит «Альфа». Первым ходом она удалит все рёбра от центральной вершины, кроме трёх (см. рисунок). Удаляя проходные вершины, мы получим опять пункт а), но теперь уже будет ход соперника.

в) Победит «Альфа». При нечётном N первым ходом стираем ребро в середине. Теперь ребро a стирать никто не может, и дальнейшая стратегия «Альфы» состоит в зеркальном (относительно серединного перпендикуляра к a) повторении ходов соперника.

При чётном N первым ходом стираем два ребра в середине. Теперь никакое ребро из A стирать никто не может, и дальнейшая стратегия «Альфы» также состоит в зеркальном (относительно вертикального ребра из A) повторении ходов соперника.

г) Победит снова «Альфа». Стираем первым ходом два ребра. Упрощаем граф: убираем тупик M, затем убираем проходные вершины L, N и C. Получился граф из пункта а), и теперь ход «Беты», которая, как мы знаем, проиграет.

д) А вот тут наконец-то победит «Бета»! Как и при решении пункта а), заметим, что все вершины равноправны. Пусть, например, «Альфа» взялась за вершину A. Два ребра AB и AС, исходящие из неё, равноправны, а третье — AK — от них отличается. Если ребро AK «Альфа» не тронет (а одно из других непременно сотрёт, неважно какое, пусть AB), то «Бета», очевидно, всегда вторым ходом сможет пойти в вершину C так, что останется граф, изображённый на рисунке слева. Если же «Альфа» оставит одно из рёбер AB или AC (неважно какое, пусть AC), тогда «Бета» сможет сделать ход в вершину B так, что выйдет граф, изображённый на рисунке справа. Убирая тупики и проходные вершины, мы упростим оба варианта до графа из пункта а), на котором «Альфа» теперь начнёт игру и проиграет.

2. «Фрукты».

а) Если b = c, выигрывает первый. Будем для определенности считать, что b c. Если b чётно, то первым ходом первый игрок должен съесть апельсин и сливу, а если b нечётно, то апельсин и банан. Тогда апельсинов не останется и ходов будет столько же, сколько осталось бананов, то есть четное число.

Если b = c нечётно, выигрывает также первый, съев сначала апельсин и банан. Ходов вновь будет столько же, сколько осталось бананов, то есть чётное число. А вот если b = c чётно, побеждает второй игрок.

Для b = c = 0 это очевидно, а в противном случае если первый ест апельсин, то остаётся нечётное число ходов, а если не ест, то второй оказывается в роли первого в разобранной выше ситуации.

б) Выигрывает второй. Ему достаточно повторять последний ход первого. В таком случае после каждого хода первого игрока количества двух видов фруктов будут нечётными, следовательно, ненулевыми.

Поэтому второй всегда сможет сделать ход. А после его хода всех фруктов будет чётное количество.

в) Выигрывает первый. Первым ходом он может съесть апельсин и банан. Этим он добъется выполнения двух условий. Во-первых, апельсинов и бананов (вместе взятых) станет меньше, чем слив. Поэтому можно считать, что каждым ходом берется либо апельсин, либо банан, либо то и другое сразу. Таких ходов будет не более 6+8 = 14, и 15 слив заведомо хватит. Во-вторых, и апельсинов, и бананов станет чётное число. Второй игрок будет вынужден нарушить чётность числа хотя бы одного из этих двух фруктов. А первый сможет снова добиться чётности числа как апельсинов, так и бананов. После каждого хода второго останется хотя бы один апельсин или банан (из-за нечётности) и хотя бы одна слива (так как слив много), поэтому ход у первого игрока всегда будет.

г) Выигрывает первый. Первым ходом он может взять апельсин и сливу. Теперь всех фруктов чётное число и работает стратегия повторения ходов из пункта б), но первый оказывается в роли второго.

3. «Одинокий крестик».

Разумеется, можно ограничиться только пунктом е), однако изложим решения некоторых предыдущих пунктов, чтобы было понятнее, как решить общую задачу.

На квадрате 1 1 побеждает первый игрок, а на полоске 1 n при n 1 — второй, оставляющий пустую клетку с края (с одного края она всегда будет). На квадрате 2 2 побеждает первый игрок, а на полоске 2 n при n 4 — второй — он оставляет себе пустой квадратик с края (с одного края такой всегда будет). На прямоугольнике 23 выигрывает тоже первый, если ставит крестик не в углу.

После разбора этих примеров кажется правдоподобным, что на квадрате выигрывает первый, а на достаточно длинной полоске — второй, который оставляет себе квадрат. Этих наблюдений хватит, чтобы решить несколько первых пунктов и понять, что такое «достаточно длинная полоска» и как играть, если она недостаточно длинна.

а) Ответ: победит второй. На квадрате 3 3 победит первый, ходя в центр. Для 3n при n 4 (в частности, для n = 10) работает стратегия для второго «оставь себе полоску 2 3», и мы уже знаем, как второй (теперь он уже первый!) сможет на ней выиграть.

б) Ответ: победит первый при n 8, иначе второй. При n 8 первый ходит в центр (или «почти в центр», об этом писалось ранее). Второй сможет оставить только полоски шириной не более 3, на которых проиграет (потому что он теперь начинает, а на этих полосках есть стратегия для второго). При n 8 для второго работает стратегия «оставь себе квадрат».

в) Ответ тот же: победит первый при n 8, иначе второй. При n 8 первый ходит в центр (или «почти в центр»). Второй сможет оставить только полоски шириной не более 3, на которых проиграет (потому что он теперь начинает, а на этих полосках есть стратегия для второго).

При n 8 второй может себе оставить полоску 4 5, на которой умеет побеждать.

г) Ответ: победит первый, ходя в центр. Решение достаточно ясно из предыдущего разбора.

Становится почти понятно, что для квадратов победит первый, для прямоугольников, у которых длина по крайней мере вдвое превышает ширину, — второй, а в промежуточных случаях бывает по-разному.

Этого уже достаточно для следующего пункта.

д) Ответ: победит первый, ходя в центр. Доказательство проведём индукцией по n. База очевидна. Шаг: пусть для всех k n утверждение доказано. Для k = n ходим в центр. Второй игрок оставит себе полосу n l n, где l, и поставит на ней крест. Тогда первый оставит себе квадрат l l (это всегда можно сделать, ибо n 2l) и далее выиграет по предположению индукции.

е) Теперь можно взяться за общий случай. Пусть m n. Тогда победит первый при n A, иначе второй. Здесь A — наименьшее число, которое превышает m и является степенью двойки. Доказательство проведём индукцией по n. База разобрана ранее. Шаг: пусть для всех k m утверждение доказано. Для k = m пусть 2a1 m 2a = A. То, что при n A победит второй, понятно — он после любого хода первого режет поле пополам и оставляет себе поле 2a1 m, на котором по предположению индукции (ведь 2a1 m 2a ) победит тот, кому сейчас ходить.

Пусть теперь m n A. Тогда первый игрок ходит в центр. Второй n A = 2a1 m.

игрок может оставить себе полоску p m, где p По предположению индукции игрок, начинающий с такого положения, проиграет, так что у второго шансов нет.

Задания для конкурса по математическим играм составили:

О. Л. Хаит (№ 1), И. В. Раскина (№ 2), А. В. Хачатурян (№ 3).

Критерии оценивания Общие положения

1. За каждую задачу присуждается не более 20 баллов.

2. Баллы за различные пункты суммируются. Если сумма баллов за пункты превышает 20, выставляется 20, иначе — сумма баллов.

3. «Голый» ответ — 0 баллов. (Кроме пунктов 2 (а) и 3 (е).)

4. Примеры партий — 0 баллов.

5. Неверное понимание условия — 0 баллов.

1. «Метро»

Явно высказанные идеи редукции графа — отрезание хвостов и закрытие проходных станций — по 3 балла за каждую.

Тем, что во многих случаях вершины (рёбра) равноправны, можно пользоваться без упоминания, но если школьник хоть раз это явно пишет (например: «Не умаляя общности...» или «Всё равно, какую станцию он взял, например...»), то ему 1 балл.

а) (K4 ) — 3 балла (ставим 2 балла, если потерян случай или в ситуации, когда предлагается стратегия «второй убирает 3 рёбер, если первый убрал », ибо неясно, почему так можно сделать).

б) (кольцо) — 4 балла (верный первый ход, а дальше ничего не сказано или что-то туманное — 2 балла).

в) (квадратики) — 2 балла за чётный случай и 2 балла за нечётный, всего 2 + 2 = 5 баллов.

г) (граф куба) — 5 баллов (верный первый ход, а дальше рассуждение, как на 2 балла в пункте (а) — 2 балла).

д) (граф пятиугольной призмы) — 8 баллов.

2. «Фрукты»

Упоминание чётности абстрактно или в неверных утверждениях не приносит баллов.

а) (а = 1, b, c) — 1 балл за «голый» ответ. Полное решение до 5 баллов — условно по 1 баллу за случаи b = c (разной чётности), 2 балла за случай a = b и 1 балл за ответ.

б) (a = 6, b = 8, c = 10) — 5 баллов (только ответ и слова о повторении ходов — 2 балла).

в) (a = 7, b = 9, c = 15) — 8 баллов.

г) (a = 19, b = 20, c = 21) — 3 балла, если решение сводит задачу к пункту (б), и 6 баллов, если решение независимо (например, пункт (б) не записан).

3. «Одинокий крестик»

Соображением «куда бы ни поставил крест соперник, найдётся половина поля, где креста нет» можно пользоваться как очевидным, но если школьник хоть раз это явно пишет, то ему 2 балла. Разбирать явно случаи 1 n, 2 n и 3 n не просили, но если школьник это делает, то ему дополнительно 1–2 балла.

а) (3 10) — 3 балла.

б) (4 n) — 4 балла (1–2 балла, если разобран только случай достаточно длинной полоски)(не снижать, если решающий подразумевает, что n 4).

в) (5 n) — 5 баллов (1–2 балла, если разобран только случай достаточно длинной полоски) (не снижать, если решающий подразумевает, что n 5).

г) (7 7) — 4 балла.

д) (n n) — 10 баллов (5 баллов за верную, хорошо описанную, но не доказанную стратегию типа «ставим в центр, соперник отрезает полоску, а мы из неё делаем меньший квадрат и опять ставим в центр и т. д., и так придём к квадрату 1 1»).

е) (m n) — 20 баллов, «голый» ответ — 4 балла.

Критерии награждения Было предложено 3 задания, каждое из которых состоит из нескольких пунктов. За каждый пункт каждого задания ставились целые положительные баллы или 0. Баллы за пункты каждого задания суммировались, итоговой оценкой за задание является сумма баллов по пунктам, если она не больше 20, или 20 баллов (что соответствует полностью выполненному заданию). Полученные оценки за задания суммировались.

Пункты в заданиях могут перекрывать друг друга по математическому содержанию (например, один пункт может быть частным случаем другого). Критерии оценки в баллах подобраны как раз так, чтобы в случае полностью выполненного задания (в содержательном математическом смысле; не обязательно решение всех пунктов) как раз получалась бы сумма баллов по пунктам не меньше 20.

Оценка «e» (балл многоборья) ставилась в следующем случае:

• в классах 5–10 в сумме по всем заданиям получено не менее 8 баллов

Оценка «v» (грамота за успешное выступление в конкурсе по математическим играм) ставилась в следующих случаях:

• в 5–6 классах в сумме по всем заданиям получено не менее 10 баллов

• в 7–10 классах в сумме по всем заданиям получено не менее 16 баллов Если у участника есть результаты по математическим играм одновременно и за письменную работу, и за устный ответ, эти результаты логически объединялись.

Учащиеся 11 классов за участие в конкурсе по математическим играм не награждаются, так как задания этого конкурса по уровню сложности предназначены для школьников более младших классов (работы 11 класса всё равно проверяются, а авторам сообщаются результаты проверки).

Инструкция проводящим устный конкурс «Математические игры»

Уважаемые коллеги! Перед Вами задания конкурса «Математические игры» Турнира Ломоносова 2015 года. Мы рекомендуем вам по возможности провести этот конкурс в устной форме для учеников не старше восьмого класса. Ученикам 9–11 классов дайте задания для письменной работы и посадите их в специальную аудиторию. Если нет возможности провести конкурс устно, дайте письменные задания и младшим ребятам, но всё же, пожалуйста, постарайтесь организовать для них устный конкурс — младшеклассники, как показывает печальный опыт прошлых лет, очень плохо записывают решения заданий по играм.

Мы советуем проводить устный конкурс приблизительно так. В выделенной аудитории назначаются «сеансы игр» — например, каждый час или, если аудитория невелика, каждые 45 минут. Расписание «сеансов» вывешивается на дверях. Перед началом сеанса в аудиторию запускаются участники и рассаживаются за парты, лучше по двое.

Не допускайте перенаселения, посоветуйте тем, кто не помещается, посетить иные конкурсы, а на этот прийти к другому сеансу.

На каждом сеансе ведущие (их нужно примерно по одному на 10–15 школьников) могут выбрать одну игру из предложенных ниже.

Перед тем как рассказать правила, можно кратко объяснить, что такое математическая игра, что такое стратегия, привести пример на самых известных играх, например «крестики-нолики 3 3» или «двое берут из кучи по 1 или 2 камня». Когда школьники поймут, в чём заключается конкурс, расскажите им правила и задания одной из трёх игр, добейтесь, чтобы правила были понятны, потом раздайте реквизит (об этом написано ниже) и попросить их сыграть друг с другом или с вами несколько партий, чтобы понять суть игры. С желающим объяснить решение какого-либо пункта задания негромко побеседуйте.

Потребуйте, чтобы он не просто «обыграл» Вас, а внятно объяснил стратегию. Сданную задачу отметьте в протоколе (бланк прилагается).

Участнику можно предложить перейти в аудиторию, где проходит письменный конкурс:

— если он затрудняется изложить устно решение, — если он уже решил предложенную игру и хочет решать другие, — если по каким-то причинам Вы бы хотели, чтобы его решение подверглось внешней проверке, — если, наконец, он бузит и мешает Вам работать.

Многие дети, кстати, не настолько жаждут решить и сдать задачу, они приходят просто поиграть. Дайте им эту возможность, поиграйте с ними, устройте турнир по какой-то игре. Шутите, улыбайтесь, создавайте праздничную атмосферу. Самых заядлых игроков можно оставить на повторный сеанс, но сначала напомните о других конкурсах.

О подготовке и реквизите Чтобы конкурс прошёл хорошо, к нему надо подготовиться.

Во-первых, прорешайте заранее задания, чтобы уверенно играть с детьми, когда надо, поддаваясь, когда надо, побеждая.

Во-вторых, распечатайте бланк протокола, распечатайте и имейте несколько экземпляров заданий.

В-третьих, заранее подготовьте реквизит.

Для игры № 1 можно крупно нарисовать схемы из условия, но проще рисовать их каждый раз карандашом на бумаге (и стирать рёбра ластиком).

Для игры № 2 желательны фишки, то есть любые мелкие предметы трёх сортов, которые изображают фрукты. Конечно, их неудобно (и накладно) использовать для решения пунктов с большими числами, но можно экспериментировать с малыми числами, пока не станут ясны закономерности и принципы игры. Конечно, можно и просто играть, выписывая числа на бумаге.

Для игры № 3 нужна клетчатая бумага, запаситесь ею. Буквально разрезать поля ножницами не стоит, рисовать проще и не менее наглядно.

Не пожалейте времени на подготовку к играм — оно окупится радостью маленьких участников Турнира.

О записи результатов В протоколе отражайте сданные школьниками задания. Принимайте задачи строго, требуйте объяснения правильности стратегии.

Не подсказывайте явно, но незаметно слегка помогите участнику, если видите, что он понимает суть решения, но не может точно её выразить.

Бывает так, что маленький участник очень ловко играет в игру, в разные её варианты, но объяснить ничего толком не может. Отметьте это словами в протоколе, такого малыша тоже можно будет поощрить. Протокол(ы) сдайте старшему по точке проведения Турнира.

Несколько комментариев к играм

Игра № 1. Добейтесь понимания правил и понятия связности графа. При решении важно, чтобы ребёнок понимал, какие вершины и рёбра равноправны (и не делал лишнего перебора). Важно, чтобы ребёнок понял, что можно упрощать граф, удаляя вершины степени 1 (с ребром) и вершины степени 2. Если он это понимает в целом, полезно с ним это явно проговорить, стимулируя решать сложные пункты.

Игру № 2 можно решать сначала на маленьких числах (ребята вскоре поймут, что в части случаев дело только в чётности). Однако в пункте в) есть и другая идея: там важно, что 15 — большое число по сравнению с остальными.

Игру № 3 можно исследовать методом выигрышных и проигрышных позиций. Подскажите это ребятам, которые явно понимают решение, но не владеют удобной техникой записи «плюсов и минусов».

Спасибо Вам!

Статистика В приведённой статистике учтены все письменные работы по математическим играм, сданные школьниками, а также все устные ответы, кроме абсолютно нулевых.

При наличии нескольких устных ответов за каждый пункт каждой задачи учтён лучший результат. При наличии как устного, так и письменного ответа по каждой задаче учтена лучшая оценка (наибольшее количество баллов).

Сведения о количестве школьников по классам, получивших грамоту по математическим играм («v») и получивших балл многоборья («e»), а также общем количестве участников конкурса по математическим играм (количестве сданных письменных работ и/или устных ответов).

–  –  –

Конкурс по физике Задания В скобках после номера задачи указаны классы, которым эта задача рекомендуется, после задачи — максимальное количество баллов, которое за неё можно получить. Можно решать и задачи старших классов.

Задачи младших классов на оценку не влияют.

Ученикам 7 класса и младше достаточно решить одну задачу своего класса, ученикам 8–11 классов — две задачи своего класса.

1. (5–7) Беговые лыжи рекомендуют смазывать следующим образом:

под колодкой (местом расположения крепления) — мазью, плохо скользящей по снегу, а концы лыж — мазью, хорошо скользящей по снегу.

Почему именно так? (5 баллов) 2. (5–9) На горизонтальном столе лежат две катушки, а на них — длинный тяжёлый брусок. Брусок опирается на центральные валики катушек. Радиус валиков r = 1 см, радиус боковин катушек R = 2 см. Брусок перемещают вправо на 12 см (с катушек он при этом не падает). На какое расстояние при этом прокатятся катушки? Ни брусок по катушкам, ни катушки по столу не проскальзывают. (5 баллов)

R r

3. (5–9) Когда у нас мёрзнут пальцы, мы дуем на них, чтобы согреть.

Когда обжигаем руку, тоже дуем — чтобы охладить. Чем отличаются положения наших губ в этих ситуациях? Почему в одном случае поток воздуха изо рта согревает, а в другом — охлаждает? (5 баллов) 4. (8–10) Расширяющийся кверху сосуд с приставным дном погрузили в воду так, как показано на рисунке, и удерживают в этом положении. Оказалось, что дно сосуда отпадает, если в него налить 1 кг воды. В сосуд наливают масло (его плотность меньше плотности воды).

Больше или меньше 1 кг масла понадобится налить, чтобы дно отпало?

А если наливать ртуть? (7 баллов) 5. (8–10) На столбе на высоте h висит звонок. Дует ветер, его скорость равна u. В каком месте на земле звук слышен громче всего? Скорость звука в воздухе равна c. (7 баллов) 6. (8–11) Из однородной проволоки изготовлен равносторонний треугольник ABC, сторона которого равна a. К точкам A1 и C1, делящим сторону AC на три равные части, прикреплены ещё два куска проволоки — вместе с отрезком A1 C1 они образуют равносторонний a треугольник A1 B1 C1 со стороной. Внутри этого треугольника сделан ещё один (в три раза меньший) и т. д. Найдите сопротивление всей конструкции, если число треугольников очень велико. Сопротивление куска проволоки длины a равно r. (10 баллов) B

–  –  –

7. (9–11) Заточённая в замке принцесса сплела веревочную лестницу, собрала её в охапку и сбросила с балкона, закрепив верхний конец.

Найдите минимальную силу натяжения, которую должна выдерживать лестница, чтобы не порваться при таком сбрасывании. Масса лестницы m распределена по её длине практически равномерно. Длина лестницы меньше расстояния до земли. Силой сопротивления воздуха можно пренебречь. (10 баллов) 8. (10–11) Где сильнее горит газ в газовой плите — на первом этаже или на шестнадцатом? Оцените величину эффекта (насколько сильнее горит?). (12 баллов) Замечания. 1. Давление в газовой трубе превышает атмосферное примерно на 5 %.

2. Природный газ — это в основном метан (CH4 ).

3. Изменение давления из-за вязкого трения в трубе очень мало, им можно пренебречь.

9. (10–11) Коронный разряд — это высоковольтный электрический разряд в газе, возникающий в сильно неоднородном электрическом поле вблизи электродов с малым радиусом кривизны (остриё, тонкие проволоки и т. п.). Электроны, возникающие при случайной ионизации нейтральных молекул, ускоряются электрическим полем и приобретают энергию, достаточную для того, чтобы при столкновении со следующей молекулой ионизировать её. В результате происходит лавинное увеличение числа заряженных частиц. Процесс сопровождается фиолетовым или бледно-голубым свечением, имеющим форму короны.

Для исследования этого явления изготовлен электрод в форме иголки. Оказалось, что свечение начинает возникать при напряжении на электроде 10 кВ (относительно земли). При каком напряжении начнется свечение, если все линейные размеры электрода уменьшить в два раза? (12 баллов) 10. (9–11) Палочка с зарубками. Возьмём цилиндрическую деревянную палочку и по всей её длине сделаем на равных расстояниях небольшие поперечные зарубки. На конце закрепим гвоздиком свободно вращающийся лепесток — плоскую металлическую полоску. Если взять такую палочку в руку, а другой палочкой водить взад-вперёд по зарубкам, лепесток начинает вращаться! При этом эксперименты показывают, что вращение не связано со случайными отклонениями геометрии палочки от идеальной. В частности, его направление у разных экземпляров палочки оказывается одинаковым.

а) Второй палочкой можно водить по зарубкам по-разному: по середине зарубок (1) или ближе к их краю (2). В одном из этих случаев лепесток вращаться не будет. В каком и почему? Рука, держащая палочку с зарубками, равномерно сжимает её со всех сторон.

б) Почему лепесток вращается? Принимаются любые разумные соображения.

Ответы и решения Задача 1. Беговые лыжи имеют характерный изгиб (он называется весовой прогиб), из-за которого лежащая на полу лыжа касается его только передней и задней частью. Для человека лыжи подбираются так, что, когда он стоит на них на двух ногах, прогиб под его ботинками не достает до земли, а когда переносит весь вес на одну ногу — лыжа распрямляется и касается земли всей своей поверхностью. Отсюда метод смазывания лыж: в момент отталкивания почти весь вес человека приходится на толкающую ногу, лыжа выпрямляется, и нескользящая мазь позволяет оттолкнуться от снега. А когда человек скользит или едет под горку, его вес равномерно распределяется между двумя ногами и лыжи касаются снега только своими концами, смазанными хорошо скользящей мазью.

Задача 2. Первое решение («детское», но вполне допустимое).

Представим себе, что катушка сделает один оборот вокруг своей оси.

По столу она тогда прокатится на расстояние L, равное длине внешней окружности боковин (потому что катится без проскальзывания).

Смещение бруска относительно катушки будет равно длине окружности валика l (брусок по валику не проскальзывает). Поскольку радиус валика в два раза меньше радиуса боковин, длина его окружности тоже L в два раза меньше: l =.

Смещение бруска относительно стола S будет суммой его смещения по катушке и перемещения катушки по столу:

S = L + l = 1,5L. Оно, как видим, оказывается в 1,5 раза больше перемещения катушек. Если брусок переместить на 12 см, то катушки прокатятся на расстояние L = 12 см : 1,5 = 8 см.

Второе решение («взрослое»). Поскольку катушка катится без проскальзывания, ее мгновенный центр вращения (в системе отсчета стола) совпадает с ее нижней точкой O. Мгновенная скорость верхней точки валика B равна скорости бруска v, потому что брусок по валику также не проскальзывает. Пусть u — скорость центра катушки (точки C). Поскольку скорость точки твердого тела пропорциональна расстоянию до мгновенного центра вращения, получаем, что u OC R 2 см 2 = = = =.

v 2 см + 1 см 3 OB R+r Таким образом, в любой момент u = v. Значит, и перемещение катушки S составляет от перемещения бруска L, то есть S = L = 8 см.

–  –  –

Задача 3. Когда мы дуем на пальцы, чтобы их согреть, мы довольно широко открываем рот, в результате выдыхаемый нами воздух идет через большое отверстие, и скорость его потока оказывается маленькой.

Пальцы мы при этом располагаем у самого рта. Выдыхаемый нами воздух имеет (на выходе изо рта) температуру нашего тела, которая обычно выше, чем температура окружающей среды. Поэтому в широком потоке такого воздуха пальцам тепло. Если же руку нужно охладить, мы складываем губы «трубочкой», оставляя маленький зазор — в результате скорость воздушной струи оказывается гораздо больше.

Удаляясь от губ, вышедший изо рта воздух смешивается с окружающим воздухом. Из-за этого струя замедляется и остывает. Обожженный палец мы располагаем в 10–15 см ото рта. На таком расстоянии воздух уже достаточно холодный, но еще сохраняет заметную скорость. Обдувая наш палец, он уносит молекулы воды, испарившейся с поверхности кожи. Испарение увеличивается, и за счет теплоты парообразования палец остывает.

Если палец расположить у самых губ, то даже быстрый поток воздуха все равно будет согревать — в этом легко убедиться на опыте.

Дело в том, что выдыхаемый воздух имеет в этом месте достаточно высокую температуру. Кроме того, он очень влажный (насыщен молекулами воды, испарившейся со слизистых оболочек нашего организма).

Из-за этого даже быстрый поток такого воздуха не может увеличить скорость испарения. Он сможет это сделать только перемешавшись с воздухом окружающим — при этом упадет не только его температура, но и влажность.

Задача 4. Дно сосуда отпадает при некоторой фиксированной силе давления на него сверху.

Заметим, что давит на дно только жидкость, находящаяся непосредственно над ним (a), а вес остальной жидкости (b) приходится на стенки. Таким образом, чтобы дно отпало, масса находящейся над ним жидкости (a) должна достичь определенной величины.

Чтобы это произошло, масло придется налить до большей высоты, чем воду, потому что его плотность меньше. А если наливать ртуть — до меньшей высоты (плотность ртути намного больше плотности воды).

Заметим, что чем выше уровень жидкости в расширяющемся сосуде, тем бльшая ее часть (по объему и по массе) находится над стенками — o и, следовательно, тем меньшая над дном. В этом можно убедиться, рассмотрев предельные случаи: когда жидкости очень много, ее форма близка к конусу и она почти вся расположена над стенками, а когда жидкости мало, она представляет из себя тонкий диск со слегка срезанным краем, то есть почти вся находится над дном сосуда. Отсюда видно, что масла потребуется больше килограмма, так как из-за большей высоты меньшая, чем у воды, ее часть будет давить на дно. Аналогично ртути потребуется меньше килограмма.

Задача 5. Звуковые волны распространяются со скоростью звука относительно воздуха, то есть для наблюдателя, находящегося на земле, скорость звука складывается со скоростью ветра.

При удалении от источника звук затухает, причем тем больше, чем больше расстояние, пройденное им относительно воздуха, так как ветер «сдувает» звуковую волну без изменений.

Рассмотрим звонок на столбе. При отсутствии ветра он испускает сферические волны с центром на высоте h, радиус которых растет со скоростью звука. Точка на земле, в которой звук будет слышен громче всего, — та, которой первой коснется расширяющаяся сферическая волна. Если ветра нет, то эта точка, очевидно, лежит у основания столба.

Если же ветер дует и его скорость равна u, то волны, которые испускает звонок, остаются сферическими и расходящимися со скоростью c, только их центры движутся по горизонтали со скоростью ветра. Такие h волны достигают земли через время t = после испускания, так как c скорость распространения звука вниз не изменяется ветром. При этом uh они приходят в точку, отстоящую от столба на расстояние l = ut = c (смещение центра сферической волны за время t). Именно на таком расстоянии от столба звук будет слышен громче всего.

–  –  –

Задача 6. Основная идея решения заключается в том, что если в произвольной цепи из резисторов уменьшить все сопротивления в три раза, то сопротивление цепи также уменьшится в три раза.

Этот факт достаточно очевиден, обосновать его можно, например, соображениями размерности: если все резисторы имеют сопротивление, измеряющееся в единицах r (r, 5r, 11r и т. д.), то сопротивление цепи может быть только r (безразмерный коэффициент).

Обозначим сопротивление всей цепи через R. Если число треугольников очень велико, то внутренний участок между точками A1 и C1 полностью повторяет всю конструкцию, только все сопротивления в нем R уменьшены в три раза. Значит, его сопротивление равно. Сопротивr ления отрезков AA1 и C1 C равны. Таким образом, всю цепь можно представить в виде эквивалентной схемы, показанной на рисунке.

r r B

–  –  –

Отсюда после преобразований получаем квадратное уравнение для R:

R2 + 6rR 4r2 = 0, корни которого R1,2 = (3 ± 13)r. Второй из этих корней отрицателен и не имеет физического смысла. Положительный корень R = = ( 13 3)r 0,61r является ответом в задаче.

Задача 7. Сила натяжения лестницы в любой момент будет максимальна у верхнего (закрепленного) конца.

В этой точке она равна сумме силы тяжести m g, действующей на распрямившуюся (остановившуюся) часть, и силы натяжения на нижнем конце этой части T0.

Для вычисления T0 заметим, что элементы лестницы были собраны принцессой «в охапку», а не свернуты в моток или клубок. Поэтому все время до остановки они падают свободно, с ускорением g. Пролетев расстояние h, они приобретают скорость v = 2gh, поскольку их начальная скорость равна нулю.

Рассмотрим теперь элемент лестницы, останавливающийся за малое время t. Его масса равна vt ( — линейная плотность лестницы), а его импульс изменяется от v 2 t до нуля. Это изменение импульса ему сообщает сила натяжения T0, значит,

–  –  –

Отсюда получаем силу натяжения на нижнем конце T0 = v 2 = 2gh.

Как видим, эта сила максимальна в самом конце разматывания лестницы, когда h равно ее длине l. В этот же момент достигает максимума сила тяжести m g, действующая на остановившуюся часть лестницы (m = m). Значит, сумма этих сил (натяжение в верхней точке) также максимальна и равна T = mg + 2gl = 3mg.

Оказывается, чтобы не порваться при таком сбрасывании, лестница должна выдерживать как минимум три своих веса!

Задача 8. Сила горения газа пропорциональна количеству газа, выходящему через отверстия конфорки в единицу времени.

Для заданного типа конфорки можно считать, что эта величина пропорциональна скорости вытекания газа, которая, в свою очередь, пропорциональна разности давлений в трубе и в комнате.

Будем считать, что на первом и на 16-м этажах стоят одинаковые плиты. Сравним разности давлений на этих двух высотах. Обозначим атмосферное давление на первом этаже через p0. Давление в газовой трубе тогда равно 1,05p0, а разность давлений p = 0,05p0.

С увеличением высоты падают оба давления (давление воздуха и давление природного газа). При этом, вообще говоря, уменьшаются и плотности газов. Однако на высоте в несколько десятков метров давления изменяются очень слабо, поэтому для оценки изменениями плотностей можно пренебречь. Тогда давление воздуха на 16-м этаже равно pв = p0 в gH, где в — плотность воздуха, H 50 м — высота 16-го этажа. Аналогично давление в газовой трубе на 16-м этаже равно

pг = 1,05p0 г gH, где г — плотность природного газа. Найдём разность давлений на этой высоте:

Mв Mг p = pг pв = 0,05pв + (в г )gH = 0,05pв + gH.

Vµ Здесь Mв = 29 103 кг/моль, Mг = 16 103 кг/моль — молярные массы воздуха и газа (метана), Vµ = 22,4 103 м3 /моль — молярный объем при нормальных условиях. Подставив численные значения, находим, что второе слагаемое в этой формуле (поправка к разности давлений из-за высоты) приблизительно равно 290 Па 0,003p0. Значит, p 0,053p0 и p 1,06.

p На 16-м этаже газ горит сильнее примерно на 6 %.

Задача 9. Из описания явления следует, что для возникновения разряда напряженность электрического поля электрода должна достигнуть некоторого критического значения.

Это значение определяется следующим условием: на длине свободного пробега электрона электрическое поле должно сообщать ему энергию, достаточную для ионизации нейтрального атома. В воздухе при нормальных условиях это условие начинает выполняться при напряженности поля, приблизительно равной 30 кВ/см.

Пусть — потенциал электрода относительно земли, а E — максимальная напряженность электрического поля, создаваемого им в окружающем пространстве (для электрода в форме иглы это поле вблизи острия). Найдем с помощью метода анализа размерностей, как эти величины зависят от заряда электрода q и его линейного размера l. Рассматриваются электроды, подобные друг другу, — все их линейные размеры различаются в одно и то же число раз, поэтому каждый из них однозначно характеризуется каким-то одним размером (например, толщиной). В формулы для и E кроме q и l может входить электрическая постоянная 0. Размерности этих величин Кл2 [q] = [Кл], [l] = [Кл], [0 ] =.

Н · м2 Легко заметить, что из этих параметров невозможно составить безразмерную комбинацию — единица силы (Н) из 0 не может ни с чем сократиться. Это означает, что формула для может быть только одночленом = Ax q y lz, где A — безразмерный численный коэффициент.

Показатели степени x, y и z можно определить, записав размерность потенциала и потребовав равенства размерностей левой и правой частей. А можно угадать, если вспомнить формулу для потенциала точечного заряда. Эта формула показывает, что нужную размерность заведомо имеет комбинация q =A.

0 l Единственность такой комбинации следует из упомянутого выше факта — параметры задачи не позволяют составить из них безразмерную комбинацию. Аналогично, вспомнив формулу для напряженности поля точечного заряда, устанавливаем, что q E=B, 0 l 2 где В — еще один безразмерный коэффициент. Из этих двух формул получаем B E=.

Al (Это, разумеется, можно было получить и непосредственно из соображений размерности.) Как видим, если линейные размеры электрода уменьшить в два раза, то необходимое для разряда поле будет получено при вдвое меньшем потенциале. Свечение начнется при потенциале электрода 5 кВ.

Задача 10. а) Лепесток заведомо не будет вращаться в случае (1).

Физическая ситуация в этом случае обладает зеркальной симметрией — и сама система (палочка с зарубками и лепестком), и способ воздействия на нее совпадают со своим отражением в зеркале. А любое выделенное направление вращения эту симметрию нарушает — вращение по часовой стрелке, например, после отражения станет вращением против часовой стрелки. Способ воздействия (2) не обладает зеркальной симметрией, поэтому, в принципе, допускает определенное направление вращения лепестка.

Эксперименты подтверждают этот вывод. Если водить палочкой по середине зарубок, лепесток совершает хаотические колебания в разные стороны.

б) Мы не можем привести детальное объяснение механизма данного явления. Такое объяснение заведомо является очень сложным и далеко выходящим за рамки элементарной (школьной) физики. Можно назвать следующие простые соображения, отчасти раскрывающие картину происходящего.

Движение палочки по зарубкам приводит к частым периодическим ударам по палочке с лепестком. Из-за этих ударов в палочке возникают поперечные колебания (точнее, упругие изгибные волны). Эти колебания можно представить как сумму колебаний в двух плоскостях — горизонтальной (параллельной зарубкам) и вертикальной (перпендикулярной зарубкам). И те и другие имеют частоту, равную частоте ударов по зарубкам. Если бы фазы этих колебаний совпадали, колебания оси лепестка имели бы линейную поляризацию и ни к какому вращению привести не могли. Видимо, различие динамических свойств палочки в этих двух плоскостях (они по-разному расположены относительно зарубок) приводит к тому, что колебания происходят со сдвигом по фазе. Их сумма тогда является колебанием круговой поляризации — ось совершает движение по кругу и приводит лепесток во вращение из-за трения между ними.

Круговой характер вибраций оси в этом устройстве подтверждается экспериментом. Если приклеить к оси маленькое зеркало, направить на него луч лазера и наблюдать лазерный «зайчик» на достаточно удаленном экране, то можно увидеть, что этот «зайчик» описывает окружность.

Задания для конкурса по физике составил Е. А. Выродов.

Проверка и награждение Критерии по отдельным задачам В скобках указано максимальное количество баллов за задачу.

N баллов — из чего в итоге складывается правильный ответ.

Задача 1 (5 баллов).

2 балла — середина смазывается для отталкивания (не для торможения или устойчивости), но без упоминания прогиба;

3 балла — объяснение переноса веса при прогибе;

2 балла — упоминание прогиба, но никаких выводов из него;

5 баллов — максимум.

Задача 2 (5 баллов).

3 балла — все правильно, но есть арифметические ошибки или написаны расчеты, но без каких-либо объяснений;

4 балла — правильная формула, но без числового значения;

5 баллов — максимум.

Задача 3 (5 баллов).

По 1 баллу — форма губ (но только если после не говорится, что воздух тормозится о щеки, о губы, теряет энергию и т. д.); расположение пальцев (близко, далеко); медленный поток — согревает, а быстрый — остужает; смешение с внешним воздухом охлаждает выдохнутый воздух;

По 0,5 балла — испарение у обожженного охлаждает, конденсация у замерзшего согревает;

5 баллов — максимум.

Задача 4 (7 баллов).

По 0,5 балла — масла больше 1 кг, ртути меньше 1 кг;

1 балл — объяснение через высоту столба жидкости, без упоминания стенок;

4–6 баллов — рассмотрено все, кроме изменения соотношений боковых частей и центра с изменением высоты;

7 баллов — максимум.

Задача 5 (7 баллов).

1–3 балла — интенсивность звука убывает с расстоянием от источника;

1 балла — как частный случай — без ветра лучше слышно под звонком;

1 балл — указано направление, где будет лучше слышно;

2 балла — правильное решение (с подробным объяснением);

3 балла — чисто формульное решение;

минус 1 балл — если сказано, что звук быстрее, а не громче;

минус 2 балла — если фронт волны из сферического под действием ветра превращается в эллипсоидальный (очень редко);

7 баллов — максимум.

Задача 6 (10 баллов).

4 балла — соображение о том, что сопротивление всех внутренних треугольников R/3;

2 балла — правильная эквивалентная схема, то есть с R/3;

2 балла — правильное уравнение;

2 балла — правильное решение, то есть взят правильный корень уравнения и числа правильные соответственно;

минус 4 балла — приближение только двух треугольников;

10 баллов — максимум.

Задача 7 (10 баллов).

Не больше 4 баллов — правильные мысли;

минус 2 балла — арифметика;

10 баллов — максимум — все правильно.

Задача 8 (12 баллов).

По 1 баллу — за изменение давления с высотой в каждом столбе (атмосферы и газовой трубы);

1 балл — обоснование использования линейного приближения, а не экспоненциального;

По 2 балла — формулы для столбов;

2 балла — правильные молярные массы 3 балла — правильные формулы, расчёты;

12 баллов — максимум.

Задача 9 (12 баллов).

9 баллов — осознанное решение методом размерностей, но без обоснования единственности;

3 балла — коронный разряд начинается с определенного поля;

6 баллов — приближение точечного заряда на конце иглы;

0 баллов — объяснение через сопротивления;

12 баллов — максимум.

Задача 10 (10 баллов).

2 балла — где крутится, где нет, причем баллы даются если правильно обоснована причина в дальнейшем или голый ответ без попыток объяснения, не даются, если неправильное объяснения (лучше бы даже не пытался);

4 балла — симметрия или равномерность;

От 0 до 6 — слова о механических колебаниях или волнах, вибрациях;

12 баллов — максимум.

Подведение итогов Было предложено 10 заданий. Задания по физике оцениваются в баллах (целое положительное число или 0). Баллы за задания перечисляются в строчку; отсутствующее в работе задание обозначается знаком «».

Максимальное количество баллов за каждое из заданий:

номер задания 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 максимальный балл 5 5 5 7 7 10 10 12 12 10 При награждении учитывались только задачи своего и более старших классов. Задачи, предназначенные для более младших классов (чем тот, в котором учится участник турнира), проверялись и оценивались, но не учитывались при награждении.

Задача считается решённой, если за нее стоит 5 баллов или хотя бы половина баллов от максимума за эту задачу, то есть в 1-3 задачах — 3 балла или более, в 4-5 задачах — 4 балла или более, в 6-10 задачах — 5 баллов или более.

Оценка «e» (балл многоборья) ставилась в следующих случаях:

Класс «e» (балл многоборья) 4 и младше 2 балла 5 3 балла и более (из них минимум 2 балла за одну задачу) 6–8 4 балла и более (из них минимум 2 балла за одну задачу) 9–11 5 баллов и более (из них минимум 2 балла за одну задачу) Оценка «v» (грамота за успешное выступление в конкурсе по физике) ставилась в следующих случаях:

Класс «v» (грамота за успешное выступление в конкурсе по физике) 6 и младше 6 баллов и более либо одна решенная задача 7–9 10 баллов и более или одна решенная задача 10–11 10 баллов и более одна решенная задача и минимум 6 баллов в сумме В случае, если поставлена оценка «v», оценка «e» не ставится.

–  –  –

Конкурс по химии Задания В скобках после номера задачи указаны классы, которым эта задача рекомендуется. Ученикам 8 класса (или классов младше 8, изучающим химию) предлагается решить 1–3 задачи, ученикам 9–11 классов — 3–4 задачи. Разрешается решать задачи, предназначенные для классов старше своего.

1. (8) Химический элемент Х образует два оксида. В молекуле одного из оксидов массовая доля элемента Х равна массовой доле кислорода.

Определите, какой это элемент. Какую валентность он имеет в данном оксиде? Напишите формулу второго оксида элемента Х и определите в нем массовую долю элемента Х (в процентах). Ответ подтвердите расчетом.

2. (8–9) В трех банках без надписей находятся бензин, спирт и хлороформ (CHCl3 ). В вашем распоряжении есть вода и лабораторное оборудование, в том числе любая лабораторная посуда. Предложите план эксперимента, позволяющего определить содержимое каждой из трех банок (пробовать жидкости на вкус и различать их по запаху не разрешается).

3. (8–10) Горячий раствор сульфата меди массой 320 г с массовой долей растворенного вещества 37,5 % охладили до комнатной температуры.

При этом часть вещества выпала в осадок. Массовая доля сульфата меди в растворе, полученном после отделения осадка, составила 20 %.

Определите массу этого раствора.

4. (8–9) При взаимодействии двух веществ получен водный раствор, содержащий только растворенный хлорид натрия. Какие реакции между двумя веществами соответствуют этому условию? Газообразные продукты (если они образуются) из раствора предварительно удалены и не учитываются.

5. (9–10) Электролиз раствора нитрата серебра массой 680,0 г с массовой долей 5 % проводили до тех пор, пока на аноде не выделилось 11,2 л газа (н. у.). Определите массу раствора по окончании электролиза.

6. (9–11) Смесь цинка и оксида меди(II) массой 10,5 г разделили на две равные (по массе и по составу) части. Одну из них обработали избытком раствора едкого натра. По окончании реакции нерастворившийся остаток отделили, промыли разбавленным раствором щелочи и водой, высушили и взвесили. Его масса составила 2,0 г. Ко второй части исходной смеси прибавили избыток разбавленной соляной кислоты, при этом выделилось 0,96 л газа (н. у.). Напишите уравнения реакций. Определите состав исходной смеси (в процентах). Объясните количественный результат эксперимента.

7. (10–11) При взаимодействии 6,15 г белого порошка А с избытком раствора гидроксида натрия при нагревании получен газ Б массой 2,55 г и объемом 3,36 л (н. у.) и раствор вещества В. При осторожном подкислении раствора можно выделить белый осадок Г, при прокаливании которого образуется вещество Д массой 7,65 г. Определите вещества А, Б, В, Г, Д, ответ подтвердите рассуждениями и расчетом. Напишите уравнения упомянутых реакций.

8. (10–11) Газообразный углеводород, имеющий молекулярную массу менее 60, смешали с эквивалентным количеством кислорода и смесь взорвали. Реакция прошла полностью. После конденсации паров воды объем полученного газа составил 60 % от исходного объема смеси (объемы газов измерены при одинаковых условиях). Определите формулу углеводорода. Изобразите его возможные структурные формулы. Укажите гибридизацию атомов углерода, входящих в состав молекул.

9. (11) Вещество состава C10 H10 O4 взаимодействует при нагревании с раствором гидроксида натрия, образуя продукты CH4 O и C8 H4 O4 Na2.

При подкислении второго продукта можно выделить соединение состава C8 H6 O4, при небольшом нагревании которого образуется вещество состава C8 H4 O3. При более высокой температуре в присутствии катализатора вещество C8 H6 O4 превращается в продукт C7 H6 O2, который при сплавлении со щелочью образует бензол. Изобразите структурные формулы упомянутых соединений. Напишите уравнения реакций.

Решения Задача 1. Формулу оксида неизвестного элемента ХO можно записать как X2 O, XO, X2 O3, XO2, X2 O5, XO3 или X2 O7 для разных валентностей (степеней окисления) элемента (от 1 до 6).

Так как масса элемента X в молекуле оксида равна массе кислорода, атомная масса элемента X составит соответственно 8, 16, 24, 32, 40, 48 или 56.

Элемента с атомной массой 8 нет, 16 — это кислород, он не подходит, потому что мы получим молекулу кислорода O2, а не оксид другого элемента, 24 — магний, 32 — сера, 40 — кальций, 48 — титан, 56 — железо.

Магний и кальций образуют только по одному оксиду, и у них другая формула (MgO и CaO). Титан образует несколько оксидов, но среди них не может быть оксида XO3, потому что максимальная валентность титана четыре (высший оксид TiO2 ). То же самое верно для железа — оно не может быть семивалентным.

Остается сера. Она в самом деле образует два оксида. В задаче речь идет про SO2.

Валентность серы в этом оксиде IV, степень окисления +4.

Еще один (высший) оксид серы — SO3.

Найдем массовую долю серы в SO3.

Его молекулярная масса: 32 + 16 3 = 80. Массовая доля серы:

(32 : 80) 100 = 40 %.

Задача 2. Для начала нальем понемногу каждой из жидкостей в отдельную чистую пробирку.

Затем в каждую пробирку добавим немного воды и посмотрим, что получилось.

Спирт смешивается с водой в любых соотношениях. Поэтому в той пробирке, где мы увидим прозрачную жидкость, а границы раздела фаз не будет, находится спирт.

Бензин с водой не смешивается, хлороформ тоже, поэтому в двух других пробирках образуется два слоя — один над другим, а между ними четкая граница.

Различие состоит в том, что бензин легче воды (его плотность меньше плотности воды, которая равна 1 г/см3 ), а хлороформ тяжелее воды, так что слой воды в одном случае будет выше слоя неизвестной жидкости, а в другом — ниже.

Чтобы наверняка отличить один случай от другого, удобно, чтобы количество воды заметно отличалось от количества жидкости, первоначально помещенной в пробирку.

Например, жидкостей будем брать по 2 мл, а воды — 5 мл.

Тогда сразу легко понять, где слой воды — это тот слой, который больше по толщине. Теперь, чтобы различить бензин и хлороформ, достаточно посмотреть, где находится более высокий слой: в случае хлороформа он сверху, а в случае бензина снизу.

Есть и другие способы решения задачи, но этот — самый простой и надежный.

Задача 3. Сначала найдем массу сульфата меди в исходном растворе, она составляет 3200,375 = 120 г.

Пусть х г — масса CuSO4, выпавшего в осадок, за х г.

Сульфат меди выпадает из раствора в виде кристаллогидрата CuSO4 · 5H2 O, то есть масса осадка не будет равна массе раствора.

Определим массу осадка.

Молекулярная масса сульфата меди равна 160, а молекулярная масса кристаллогидрата сульфата меди — 250.

Таким образом, если х г CuSO4, выпало в осадок, то масса осадка составила х г, и именно на эту величину уменьшилась масса раствора.

Теперь можно составить уравнение для массовой доли вещества в конечном растворе, в числителе находится масса растворенного вещества, а в знаменателе — масса раствора:

120 x = 0,2.

320 250 x Отсюда х = 81,45 г.

Масса вещества в растворе 120 х = 38,55 г. Таким образом, масса раствора 38,55 : 0,2 = 192,75 г.

Задача 4. Реакций, удовлетворяющих условию задачи, может быть множество.

Приведем для примера несколько из них:

NaOH + HCl = NaCl + H2 O, Na2 CO3 + 2HCl = NaCl + H2 O + CO2, Na2 SO3 + 2HCl = NaCl + H2 O + SO2, Na2 O + 2HCl = 2NaCl + H2 O, Na4 Si + 4HCl = 4NaCl + SiH4, NaH + HCl = NaCl + H2.

Задача 5. Прежде всего напишем уравнение электролиза.

На катоде будет выделяться металлическое серебро, а на аноде кислород, в растворе, таким образом, останется азотная кислота:

4AgNO3 + 2H2 O 4Ag + O2 + 4HNO3, Ag+ + 1e = Ag0 | 4, 2O2 4e = O2 | 1.

Рассчитаем количество вещества нитрата серебра в растворе. Его масса 680 0,05 = 34 г, что составляет 0,2 моль. Из уравнения реакции видно, что при полном разложении всей соли должно получиться всего 0,05 моль газа. А по условию выделилось 11,2 л (н. у.), что составляет 0,5 моль.

Следовательно, в процессе электролиза вся соль израсходовалась, а затем электролизу подвергалась вода, при этом на катоде выделялся водород, а на аноде по-прежнему кислород:

2H2 O 2H2 + O2.

В ходе разложения воды выделилось 0,5 0,05 = 0,45 моль кислорода, а значит, разложилось 0,9 моль воды, то есть 16,2 г.

Теперь рассчитаем массу раствора после электролиза. Для этого из исходной массы раствора вычтем массу металлического серебра (0,2 моль, т. е. 21,6 г), массу кислорода, выделившегося в процессе электролиза AgNO3 (0,05 моль, т. е.

1,6 г), и массу разложившейся воды (16,2 г):

680 21,6 1,6 16,2 = 640,6 г.

Также можно вычесть из исходной массы раствора массу металлического серебра (21,6 г), всю массу кислорода, полученного по условию (16 г), и массу водорода, выделившегося при разложении воды (1,8 г):

680 21,6 16,0 1,8 = 640,6 г.

Оба варианта приводят к правильному ответу.

Таким образом, ответ 640,6 г.

Задача 6. Рассмотрим сначала первый эксперимент и напишем уравнения реакций:

Zn + 2NaOH + 2H2 O = Na2 [Zn(OH)4 ] + H2 ;

CuO со щелочью не реагирует и остается в неизменном виде.

Таким образом, осадок массой 2,0 г — это оксид меди. Так как в реакцию со щелочью вводили половину смеси, общая масса здесь 5,25 г.

Итак, в смеси 39,1 % CuO и 60,9 % цинка.

Рассмотрим второй эксперимент:

CuO + 2HCl = CuCl2 + H2 O, Zn + 2HCl = ZnCl2 + H2.

Согласно нашему расчету масса цинка в смеси 5,25 2,0 = 3,25 г.

Это составляет 0,05 моль. Таким образом, следовало бы ожидать 1,12 л водорода.

А водорода, тем не менее, получено только 0,96 л. Такой результат можно объяснить, если записать еще одну реакцию, которая может протекать в данной системе.

В этой реакции расходуется цинк, но водород не выделяется, а именно:

Zn + CuCl2 = Cu + ZnCl2.

Таким образом, вести расчет по объему газа, полученному во втором опыте, нельзя, потому что неизвестно, какая часть цинка вступит в дополнительную реакцию.

Состав исходной смеси соответствует результату расчета по первому опыту:

CuO 39,1 % и Zn 60,9 %.

Задача 7. Рассмотрим газ Б.

Легко определить, что его молекулярная масса 17. Так как газ выделяется при реакции со щелочью, это аммиак, и получено его 0,15 моль.

Осторожное подкисление раствора и прокаливание осадка указывает, что осадок Г представляет собой гидроксид амфотерного элемента, а Д — это его оксид. Масса соответствует 0,075 моль Al2 O3.

Так как в молекуле Al2 O3 содержится два атома Al, исходное вещество содержит азот и алюминий в отношении 1 : 1.

На основании его массы это 0,15 моль нитрида алюминия AlN.

Таким образом, А = AlN, Б = NH3, В = Na[Al(OH)4], Г = Al(OH)3, Д = Al2 O3.

Уравнения реакций:

AlN + NaOH + 3H2 O = NH3 + Na[Al(OH)4 ], Na[Al(OH)4 ] + CH3 COOH = Al(OH)3 + CH3 COONa + H2 O, 2Al(OH)3 = Al2 O3 + 3H2 O.

Задача 8. Запишем уравнение реакции горения в общем виде:

–  –  –

Задания для конкурса по химии составили:

З. П. Свитанько, С. В. Лущекина.

Критерии оценивания и награждения Задача 1.

Определение серы (при наличии обоснования) — 5 баллов.

Валентность серы IV — 1 балл.

Второй оксид SO3 — 3 балла.

Массовая доля серы 40 % — 3 балла.

Максимум 12 баллов.

Задача 2.

Определение каждой из трёх жидкостей (позволяющее однозначно отличить ее от других) — 4 балла.

Максимум 12 баллов.

Задача 3.

Масса соли в исходном растворе 120 г — 1 балл.

Составление уравнения с учетом того, что выпадает кристаллогидрат — 6 баллов.

Решение уравнения и ответ 192,72 г — 5 баллов.

Решение без учета кристаллогидрата (с ответом 250 г) — 1 + 3 + 4 = 8 баллов.

Максимум 12 баллов.

Задача 4.

Первая реакция — 3 балла.

Остальные реакции — по 2 балла.

Максимум 15 баллов.

Задача 5.

Уравнение электролиза — 3 балла.

Серебра 0,2 моль. При разложении всей соли будет 0,05 моль газа (соль полностью разложилась) — 2 балла.

Электролиз воды — 2 балла.

Расчет (любой вариант):

а) масса раствора: 680 21, 6 г (Ag) 16, 2 г (вода) 1, 6 г (кислород на первой стадии) либо б) 680 21, 6 г (Ag) весь кислород (16 г) водород из воды (1,8 г).

В обоих случаях ответ 640,6 г — 5 баллов.

Максимум 12 баллов.

Задача 6.

Первый эксперимент, реакции — 2 балла.

Расчет: CuO 2 г = 39,1 %, цинк = 60,9 % — 2 балла.

Второй эксперимент, основные реакции — 2 балла.

Реакция Zn + CuCl2 и вывод, что по водороду считать нельзя — 6 баллов.

Максимум 12 баллов.

Задача 7.

Б = NH3 (с расчетом молярной массы) — 2 балла.

А = AlN (с учетом массы 6,15) — 3 балла.

Д = Al2 O3 (с учетом массы) — 3 балла.

Тогда:

Г = Al(OH)3 — 1 балл.

В = алюминат — 1 балл.

Все реакции — 2 балла.

Альтернативные решения, которые подходят по химии (но не подходят по массе твёрдого вещества), оцениваются до 6 баллов. Пример — силикат аммония.

Максимум 12 баллов.

Задача 8.

Уравнение реакции в общем виде — 2 балла.

Уравнение и его приведение к виду 8x 3y = 12 — 2 балла.

Подбор в целых числах: не более x = 4, ответ x = 3, y = 4 — 4 балла.

C3 H4 ; вывод брутто-формулы другим способом — тоже 8 баллов.

Аллен, циклопропен, метилацетилен — по 1 баллу (3).

Гибридизация:

аллен sp2, sp, sp2 — 2 балла;

циклопропен sp2, sp3, sp2 — 2 балла;

метилацетилен sp3, sp, sp — 1 балл.

Максимум 16 баллов.

Задача 9.

C8 H6 O4 — фталевая кислота — 2 балла.

Диметиловый эфир, метанол, фталат натрия — по 1 баллу (3).

C8 H4 O3 — фталевый ангидрид — 2 балла.

C6 H6 O2 — бензойная кислота — 2 балла.

Реакции, 5 шт. по 1 баллу — 5 баллов.

Максимум 14 баллов.

Было предложено 9 заданий. Выполненные задания оценивались целым положительным числом баллов (либо 0 баллов). Баллы за задания перечисляются в строчку; отсутствующее в работе задание обозначается знаком «».

Максимальное количество баллов за каждое из заданий:

номер задания 1 2 3 4 5 6 7 8 9 максимальный балл 12 12 12 15 12 12 12 16 14 При награждении учитывалась сумма баллов по всем заданиям своего и более старших классов. Результаты выполнения заданий для более младших классов, чем тот, в котором учится школьник, при подведении итогов не учитываются.

Оценки «e» и «v» ставились в соответствии с таблицей (нужно было набрать сумму баллов не менее указанной в таблице):

Класс «e» (балл многоборья) «v» (грамота) 9 8 14 в сумме либо 10 за одну задачу 10 8 14 в сумме либо 12 за одну задачу Приведённые критерии по количеству баллов полностью соответствуют информации, которая сообщалась участникам конкурса по химии вместе с заданиями: «Ученикам 8 класса предлагается решить 1–3 задачи, ученикам 9–11 классов — 3–4 задачи. Можно решать и задачи старших классов. Если вы младше 8 класса, но уже изучаете химию, то можно решать задачи для 8 класса (и для более старших классов). Решённые задачи класса младше своего не влияют на оценку».

Поэтому отдельно количество решённых задач в критериях награждения не учитывается.

В случае, если поставлена оценка «v», оценка «e» не ставится.

Статистика Сведения о количестве школьников по классам, получивших грамоту по химии («v»), получивших балл многоборья («e»), а также общем количестве участников конкурса по химии (сданных работ).

В приведённой статистике учтены все работы по химии сданные школьниками (в том числе и абсолютно нулевые). Школьники, не сдавшие работ по химии в этой статистике не учтены.

–  –  –

Сведения о распределении баллов по заданиям. Оценки «» (участник не приступал к решению задачи) учтены только за задачи своего класса. Остальные оценки учтены только за задачи своего и старших классов.

–  –  –

Конкурс по истории Вопросы и задания Все задания адресованы школьникам всех классов: каждый может выбрать те, которые ему по вкусу и по силам. Достаточно выполнить хорошо (не обязательно полностью) 2 задания из первых восьми или верно указать хотя бы 10 исторических ошибок в одном из текстов в заданиях 9 или 10.

1. Фараон Тутмес III прославился боевым маршем вдоль «Реки, текущей наоборот». Кто из античных воевод позднее прославился сходным маршем в этом районе? Чем различались результаты этих походов?

2. Между 1212 и 1216 годами каждый год где-либо в Евразии происходило хоть одно важное событие военной истории. Назовите итоги и участников этих событий. Кто из этих людей мог участвовать в нескольких таких событиях?

3. Нынешний московский Кремль был построен в конце XV века. После этого его несколько раз осаждали разные войска — с разным успехом.

Перечислите несколько таких осад с указанием их дат, итогов и имен ведущих участников (с обеих сторон).

4. На московском престоле побывали 3 или 4 правителя по имени Фёдор. Какими важными делами они запомнились простому народу, или историкам, или писателям? Кто из этих Фёдоров правил дольше всех, а кто — короче всех? Кто из них установил такой рекорд власти, который был превзойдён лишь в XX веке?

5. Во главе Русской Православной Церкви сейчас стоит патриарх Кирилл. Чем прославился в прежние века его тёзка, также возглавлявший Русскую Церковь? С кем из русских либо нерусских правителей он имел дело?

6. Постройте короткую цепь из общих знакомых между князем Александром Невским и султаном Саладином. Укажите обстоятельства контактов между соседними персонами в этой цепи.

7. Говорят, что в 1915 году Нобелевскую премию получил самый молодой из её лауреатов. За какие открытия? Чем прославился этот учёный в зрелые или в старческие годы?

8. Военный фотокорреспондент Виктор Тёмин знаменит разными успехами. Каких военных деятелей только он сумел сфотографировать в уникальной обстановке? Где и сколько раз это случалось в 1945 году?

9. Найдите исторические ошибки в тексте. Нужно составить список указанных в тексте событий (фактов), которые на самом деле происходили или не тогда, или не там, или не так, как описано в тексте, и объяснить, как, где и с кем они происходили (или почему их вообще не могло быть).

Князь Владимир В 15-й день октября лета 1015 от Рождества Христова князь-кесарь Владимир получил из Царьграда долгожданную весть. Его тесть — кесарь и автократор Василий Комнен — одолел в бою царя болгар Симеона и вновь подчинил болгарскую церковь греческой патриархии.

Этим, конечно, недоволен папа Сильвестр. Ведь он уже послал Симеону Калояну королевскую корону и часть мощей св. Петра — как благословение от архипастыря всех христиан. Но в Риме сейчас нет своего императора, а на Босфоре он есть, и этим всё решается. Теперь путь вверх по Дунаю открыт для русских купцов, послов и миссионеров — о чём мечтал ещё князь Святослав. Тогда греки-иконборцы остановили князя перед Белградом; теперь такой преграды не будет. Значит, киевский князь может союзничать с сербами и мадьярами, с чехами и немцами — до самой глубины Рудных гор. Ибо на Руси пока нет своего серебра; а монету чеканить надо!

Не может киевский владыка обходиться лишь греческими да арабскими дирхемами. Вон — датский конунг Кнуд так лихо чеканит свои динары, что они в ходу и в Англии, и во Франции! Его знает и уважает вся Европа; а Владимира франки зовут простым вассалом боспорского кесаря. Пора заменить такие иллюзии новым знанием! Старший княжич Ярослав уже обручён с датской княжной Ириной; его младший брат Мстислав — с половецкой хатунью Юлдуз. Пора искать невест для самых младших сыновей Владимира. Ведь Борис и Глеб — дети греческой царевны Феофано.

Им подойдут супруги из имперских домов:

Каролингов Франции и саксонских Оттоничей. А своих дочерей Владимир готов просватать в Венгрию и в Чехию. Столь широкий брачный союз сделает Русь равноправным партнёром всей Европы — ещё при жизни великого царя Василия Комнена. А когда он умрёт — тогда киевский кесарь греческого рода может стать первым в ряду европейских монархов...

Этот план велик; одной княжьей жизни не хватит на его воплощение. Значит, юные Владимировичи и их дети решат эту задачу сами.

Тогда они, возможно, поставят своего предка в строй русских святых — вслед за его блаженной бабкой Ольгой Еленой, крёстной дочерью базилевса Романа Лакапена.

10. Найдите исторические ошибки в тексте. Нужно составить список указанных в тексте событий (фактов), которые на самом деле происходили или не тогда, или не там, или не так, как описано в тексте, и объяснить, как, где и с кем они происходили (или почему их вообще не могло быть).

Плутарх В 650 году от основания республики придворный историк Плутарх получил от правящего Цезаря — Марка Аврелия — важное задание.

Нужно создать галерею героев Римской державы минувших лет и веков.

И не просто перечислить их имена и подвиги, а сравнить каждого римского героя с одним из знаменитых эллинов, которого римлянин в чём-то превзошел. В этой работе Плутарх волен использовать любые книги прежних историков: от Геродота до Тацита. Но итоговый труд должен читаться легко и способствовать процветанию империи — так же, как сто лет назад этой цели послужил труд Марка Полибия! И вот мудрый Аврелий Плутарх погрузился в раздумье.

Первый обязательный герой будущей книги — Гай Юлий Цезарь, прямой предок нынешнего императора. Сравнивать первого Цезаря нужно, конечно, с Александром Македонским. Правда, Цезарь уступал тому вождю в дальности военных походов, зато намного превзошёл его в прочности созданной державы. Вторым героем Империи стал Октавиан Август. С кем его сравнить из преемников рекса Александра?

Лучше прочих подходит Селевк Никатор — основатель Восточного царства со столицей в Вавилоне, чьи земли недавно отвоевал у царя Антиоха император Марк Порций Траян.

Далее нужно похвалить соратников первого Цезаря — даже тех, с кем он потом поссорился. Например, Гней Помпей — покоритель Испании и Сирии. В Элладе ему соответствует Антигон Одноглазый — покоритель Кавказа и Армении. Он, подобно Помпею, не захотел делиться властью с другими диадохами и погиб в бою с ними при Иссе, как Помпей погиб при Мунде.

Нельзя забыть и Марка Красса — старшего друга Цезаря, подавившего бунт рабов на Сицилии, но погибшего от стрел персов в восточной пустыне. Сходную участь испытал старый македонец Парменион — наставник Александра в пору его юности. А вот сын Пармениона — Кассандр — его стоит сравнить с храбрым Титом Лабиеном. Пока тот был верен Цезарю, они вместе успешно покорили Галлию. Но стоило Лабиену перейти в лагерь Помпея, а Кассандру — устроить заговор против Александра, как судьба оборвала их успехи и жизнь.

Конечно, надо написать об Антонии и Клеопатре — нечаянных и неудачливых наследниках дел Цезаря. Властную царицу Египта можно сравнить с Олимпиадой — царицей Македонии, пережившей своего сына, но не удержавшей власть даже на своей родине. Напарником Олимпиады в той борьбе был Антипатр — военный губернатор Македонии в отсутствие Александра. Лишённый царского авторитета, Антипатр уступил власть преемникам Антигона Одноглазого и покончил с собою вместе с Олимпиадой.

Наконец, последний великий эллин в команде Александра — это хитроумный Птолемей, подражавший Одиссею. Кто подобен ему в римской истории? Видимо, тот, кому первый Цезарь поручил свой флот в решающей битве при Акции возле острова Итака. Это Марк Випсаний Агриппа: он удержал Африку под властью Рима. Eго дочь стала прабабкой нынешнего хозяина Римской державы. Цезарь Марк Аврелий наверняка будет доволен таким выбором героев Римской истории. Перо Плутарха рвётся к чистому листу александрийской бумаги. В добрый час!

Ответы, решения и комментарии Задание 1. Река, текущая наоборот (против Нила — с севера на юг), — это Иордан в Палестине. Тутмес III шел вдоль нее вверх по течению в XV веке до н. э. Навстречу этому маршу с севера спускалась в IV веке до н. э. армия Александра Македонского. Позже, в I веке до н. э., с севера на юг шла армия Гнея Помпея — покорителя Армении, Сирии и Палестины. В отличие от Александра, Помпей до Египта не дошел. Через 30 лет это сделали другие римляне: сначала Антоний, потом Октавиан.

Задание 2. В 1212 году войска Кастилии, Арагона и Южной Франции (Лангедока) разбили при Лас Навас де Толоса исламское войско Альмохадов — пришельцев из Африки.

После этого контрудары мусульман с юга прекратились. Реконкиста католиков в Испании стала необратимым, хотя и медленным движением с севера на юг. В 1213 году возле Тулузы (при Мюрэ) армия северофранцузских крестоносцев под командой Симона де Монфора разбила войско южных французов (альбигойцев) и их союзников — арагонцев во главе с их королем Педро. Король погиб в этой битве, судьба Лангедока была решена — он стал частью Франции. В 1214 году при Бувине (Северная Франция) войско короля Филиппа II Французского разбило союзников: германского императора Оттона IV Вельфа и английского короля Иоанна I Безземельного. В итоге Англия лишилась всех своих владений во Франции, а следующим императором Германии стал Фридрих II Штауфен. В 1215 году войско Чингиз-хана захватило столицу Северного Китая — Пекин. В 1216 году на Руси произошла битва на Липице среди сыновей Всеволода Большое Гнездо: между Константином Ростовским и его братьями Юрием и Ярославом. Тогда новгородцы были в союзе с Константином: их атака решила исход битвы.

Задание 3. После появления нынешнего кирпичного Кремля (1490) он подвергся серьезной осаде трижды: в 1571, 1612 и 1917 годы.

В 1571 году Кремль осадил крымский хан Девлет-Гирей: он сжег большую часть Москвы, но Кремль захватить не смог. В 1610 году Кремль был мирно занят поляками, поскольку москвичи выбрали королевича Владислава следующим царем после свержения Василия Шуйского. В 1612 году поляков из Кремля выбило Второе Земское ополчение под командой Кузьмы Минина и Дмитрия Пожарского. В ноябре 1917 года Кремль обстреливали и штурмовали большевики под командой Ногина, Усиевича и других посланцев Ленина. Кремль тогда оборонял гарнизон монархистов под командой полковника Рябцева. В 1812 году французы вошли в Москву и в Кремль без сопротивления — и так же покинули их через 40 дней. В 1941 году немцы осадили Москву: их бомбы падали даже в Кремле. Тогда немцами командовал Федор фон Бок, а русскими — Георгий Жуков; немцы были разбиты.

Задание 4. Москвою правили цари Фёдор Иоаннович (1584–1598), Фёдор Борисович (1605) и Фёдор Алексеевич (1676–1682), а также Государь Патриарх Филарет (1619–1632) — отец и соправитель царя Михаила Фёдоровича (до монашества он был боярин Фёдор Никитич Романов).

Из них Фёдор Борисович (сын Бориса Годунова) ничего не успел сделать: его убили мятежники — сторонники Дмитрия Самозванца. Фёдор Алексеевич (старший брат Петра) успел провести многие полезные реформы: он ввел профессиональные «полки иноземного строя» и заменил «подворным обложением» прежнюю круговую поруку налогоплательщиков. Фёдор Иоаннович (сын Ивана Грозного) прекратил отцовский террор и вручил верховную власть Борису Годунову.

Фёдор — Филарет Романов руководил медленным возрождением России после ужасов Смутного времени. Он не вел внешних войн и проявил необычную в Москве терпимость к протестантам Европы. Также Филарет установил два рекорда долголетия: в момент прихода к высшей власти (65 лет) и в момент ухода от нее (78 лет). Первый из этих рекордов был превзойден кремлевскими старцами XX века: Андроповым и Черненко. Второй рекорд был превзойден еще одним старцем — Андреем Громыко, первым выборным главой СССР (до Горбачёва).

Задание 5. Митрополит Кирилл был избран неполным собором русских епископов в 1246 году — сразу после монгольского нашествия, когда прежний митрополит погиб при взятии Киева.

Перед своим избранием Кирилл был канцлером и летописцем у великого князя Даниила Галицкого. После избрания Кирилл имел дело с великими князьями во Владимире: Андреем Ярославичем, его братом Александром Невским и сыновьями Невского — Дмитрием и Андреем. Также Кирилл имел дело с ханами Золотой Орды: Батыем, Берке и Менгу-Тимуром, которые утвердили его полномочия — в обмен на молитвы русской церкви за здоровье ордынских ханов. Всю долгую жизнь (до 1280 г.) Кирилл руководил медленным и трудным восстановлением русской жизни — церковной и гражданской. Он назначал новых епископов и игуменов; повышал уровень грамотности уцелевших священников; боролся с самовластьем бояр и князей. В споре за власть Кирилл поддержал Александра Невского, надеясь крестить Орду. После смерти Невского (1263) Кирилл написал его биографию — житие. Он также основал (1261) русскую епископию в Сарае — столице Орды. Вскоре после их смерти Кирилл и Александр были канонизованы как русские святые.

Задание 6. Князь Александр родился после смерти султана Саладина, так что составить цепь между ними из общих современников невозможно.

Но возможна другая цепь знакомцев: султан Саладин — король Ричард Львиное Сердце — император Фридрих Барбаросса — князь Всеволод Большое Гнездо — его сын Ярослав — его сын Александр Невский. В этом ряду Саладин лично встречался с Ричардом на переговорах во время III Крестового похода. Старый император Фридрих общался с Ричардом через послов накануне похода (1190). На 15 лет раньше император Фридрих общался с владимирским князем Всеволодом (как и с его старшим братом — Андреем Боголюбским) через послов и архитекторов-немцев, украшавших соборы во Владимире (Успенский, Дмитровский).

Задание 7. В 1915 году премию Нобеля по физике получили вместе отец и сын — англичане по фамилии Брэгг — за изобретение рентгенографии кристаллов.

Она позволяет восстановить строение молекулы вещества по фотографиям его кристалла, сделанным в рентгеновских лучах под разными углами. Лоуренс Брэгг младший получил премию Нобеля в 25 лет — этот рекорд вряд ли когда-либо будет побит.

Много позже (1939) опытный физик Л. Брэгг стал главою той лаборатории в Кембридже, которую прежде возглавлял Резерфорд. Здесь после 1945 года изучали структуру белков путем рентгенографии их кристаллов химики Макс Перуц и Джон Кендрю. К ним вскоре присоединились физик-теоретик Френсис Крик и биолог из США Джеймс Уотсон. К 1953 году их команда сделала блестящие открытия: Крик и Уотсон выяснили двойную спираль ДНК, а Перуц и Кендрю узнали строение сложных молекул гемоглобина (основной белок крови) и миоглобина (основной белок мышцы). В 1962 году все четверо стали Нобелевскими лауреатами — по физике и по химии. Тактично руководивший ими всеми Брэгг написал умное и доброе предисловие к яркой биографической книге Уотсона «Двойная Спираль» (1968), за которую Нобелевский комитет не решился дать премию по литературе.

Задание 8. Фотограф Виктор Тёмин на фронте был храбр до дерзости, очень находчив и очень удачлив.

Накануне 1 мая 1945 года он не только сумел сфотографировать советских солдат и знамя Победы над Рейхстагом, но и сам доставил фотопленку в Москву самолетом (уговорив пилота нарушить боевой приказ). Так авторское фото Тёмина появилось в утреннем номере газеты «Красная Звезда», чем Сталин был удивлен и доволен. За это достижение маршал Жуков помиловал летчика, а Тёмину за хулиганство снизил награду до ордена Отечественной войны. Через неделю Тёмин фотографировал капитуляцию Германии в Карлсхорсте и для лучших кадров вскочил на стол, чтобы сверху снять вместе Жукова и Кейтеля в момент подписания текста. Еще через 3 месяца — в сентябре 1945 года Тёмин (единственный из российских фотографов) оказался свидетелем подписания капитуляции Японии на американском линкоре «Миссури». Там он залез на мачту и снял сверху генерала Макартура вместе с русским адмиралом Деревянко и японскими партнерами: министром Сигэмицу и генералом Умэдзу. Так Тёмин стал живой легендой фотожурналистики.

Задание 9. Ниже приведены некоторые возможные ошибки.

1. Киевский князь Владимир Святославич умер в июле 1015 года.

2. Византией в начале XI века правил не Василий Комнен (такого царя никогда не было), а Василий II Македонянин.

3. Князь Владимир не считался ровней императору. Он не мог носить царский титул «кесарь» или «базилевс», но мог называть себя именем Василий, которое он получил при крещении в 988 году.

4. Царь Василий II был не тестем, а шурином князя Владимира, поскольку он был братом его жены Анны.

5. Армия болгарского царя Самуила была разбита ромейским полководцем Никифором Ураном в 1014 году. Именно тогда царь Василий приказал ослепить тысячи пленных болгар.

6. Папа Сильвестр II правил в Риме намного раньше: в 999–1003 годах. В 1015 году папой в Риме был Бенедикт VIII из рода графов Тускула.

7. Иоанн Калоян правил в Болгарии намного позже — на рубеже XII–XIII веков. Он был крещен при рождении и носил титул «царь», а не «хан».

8. Титул «царь» в Восточной и Западной Европе считался выше титула «король». Оттого предлагать титул «король» крещеному правителю болгар в XI веке было бы нелепо. Такие попытки были уместны в IX веке, когда Рим и Константинополь наперебой побуждали хана болгар Бориса к крещению. Тот крестился, приняв имя Михаил.

9. В 1015 году германский король Генрих II (родом из Саксонии) считался императором всей Германии и Италии. Но в Риме он бывал редко, занятый германскими делами. Оттого в Риме хозяйничали местные князья — в соперничестве с чиновниками папской курии.

10. Торговля вдоль Дунайского пути мало интересовала русских князей в X–XI веках. Важнейшие торговые пути Европы тогда шли по Средиземному морю: между Александрией, Антиохией, Константинополем, Карфагеном, Римом и Марселем.

11. В XI и XII веках Киевская Русь пребывала в начальной стадии крещения. Все ее деревни оставались языческими, а большинство горожан — двоеверными. В таких условиях русским монахам-миссионерам хватало работы дома; крестить кого-то за пределами Руси они не могли.

12. Иконоборчество ромейских императоров началось в 726 и прекратилось в 843 году — задолго до эпохи княгини Ольги и князя Святослава.

13. Пытаясь укрепиться в подчиненной им Болгарии (969 год), Святослав не мог слать войска вверх по Дунаю — до Белграда. Его бои с греками происходили вблизи устья Дуная — у крепости Доростол (Силистрия).

14. Святослав, оставаясь язычником, не мог и не сумел бы завязать союз с давно крещеными чехами, сербами и немцами.

15. Напротив, мадьяры (венгры) в середине X века были кочевниками — язычниками. Святослав заключил с ними союз против печенегов и хазар, еще сидя в Киеве — в 964 году.

16. В отличие от римского слова «денарий» (оно означало золотую монету и перешло во все имперские языки позднейших эпох), арабское слово «дирхем» (означавшее серебряную монету) не вошло ни в греческий, ни в латинский язык.

17. Датский конунг и король Кнуд (Канут) Великий создал многоэтничную морскую державу вокруг Скандинавии после 1015 года.

Англию он подчинил в 1017 году.

18. Князь Владимир чеканил свои монеты (серебряные и даже золотые) в очень небольшом числе — только как «медали», чтобы заявить о претензиях на титул выше королевского. На Руси в ходу тогда были серебряные или медные монеты арабской, или греческой, или франкской чеканки.

19. Женой княжича Ярослава (Георгия) — будущего Ярослава Мудрого — была не датская, а норвежская княжна Ингигерда (в крещении — Ирина).

20. Княжич Мстислав Владимирович (Черниговский) не мог быть женат на половчанке, поскольку половцы появились на границах Руси через 20 лет после смерти Мстислава. Но возможно, что жена Мстислава была из племени торков: они были союзниками русских князей против печенегов, с которыми Владимир, Ярослав и Мстислав часто воевали.

21. В начале XI века во Франции уже не осталось правителей Каролингов. С 987 года там правили короли Капетинги. Первый брачный союз с ними заключил Ярослав Мудрый в 1048 году: Анна Ярославна стала королевой Франции.

22. Князь Владимир имел нескольких жен: среди них была Мария, дочь короля Чехии. Но просватать свою дочь за европейского короля Владимиру Киевскому не удалось ни разу. Зато после его смерти польский король Болеслав Храбрый взял в жены дочь Владимира — Предславу.

23. Поле того как Владимир крестился (в 988 году) и стал родичем императора Византии, он не перестал быть «чужаком» для королей Западной Европы, принявших крещение из Рима. Пробить культурный барьер между Русью и Западом сумел сын Владимира — Ярослав Мудрый. Он устроил для своих детей 6 иностранных браков.

24. Князь Владимир Киевский был канонизован русской церковью как святой (вместе со своей бабкой — Ольгой) только в XII веке.

25. Княгиня Ольга (в крещении — Елена) стала в 957 году крестной дочерью императора Константина VII Багрянородного, а не Романа Лакапена, правившего раньше.

Задание 10. Ниже приведены некоторые возможные ошибки.

1. В Римской Империи счет лет велся не от основания республики (это 509 год до н. э.), а от основания города (это 753 год до н. э.).

2. Император Марк Аврелий правил Римом после 160 года н. э. Это был уже конец VII века Республики и IX век после Основания Рима.

3. Плутарх никогда не был придворным историком какого-либо правителя, хотя его труд читал и одобрял император Траян (в начале II века н. э.).

4. Как независимый писатель, Плутарх выбирал героев своих биографий по личному вкусу, а не по заказу какого-либо хозяина. Цель Плутарха была проста: позволить всем гражданам Империи сравнить римскую доблесть недавних веков с греческой доблестью более ранних времен.

5. Историк Полибий жил не на 100, а на 250 лет раньше Плутарха, в эпоху разрушения Карфагена римлянами. Он писал «Всеобщую Историю» на своем родном греческом языке — для всех образованных читателей Средиземноморья, а не только для граждан Римской державы.

6. Грек Полибий не мог носить двойное римско-греческое имя «Марк Полибий».

7. Плутарх тоже был греком и не носил двойное имя «Аврелий Плутарх».

8. Император Марк Аврелий не был ни современником Плутарха, ни потомком Гая Юлия Цезаря. Но он, видимо, был дальним родичем матери Цезаря: ведь она происходила из знатного рода Аврелиев.

9. В силу личной осторожности Плутарх не включил в ряд героев своей книги ни одного римского императора, кроме первого Цезаря. Так что Август — не его герой.

10. Из множества современников и партнеров Цезаря Плутарх выбрал своими героями только трех знаменитых римлян: Марка Красса, Гнея Помпея и Марка Антония.

11. Из множества диадохов (соратников Александра Македонского) Плутарх никого не включил в ряд своих героев.

12. Из потомков диадохов Плутарх выбрал только одного: Деметрия Полиоркета — сына Антигона Одноглазого. Плутарх сопоставил его с Марком Антонием.

13. Марка Красса Плутарх сопоставил с афинским полководцем Никием. Тот тоже на старости лет возглавил поход в Сицилию и погиб там, а все его войско попало в плен (как войско Красса в Парфии).

14. Гнея Помпея Великого Плутарх сравнил не с Антигоном Одноглазым, а с царем Спарты — Агесилаем. Тот в IV веке до н. э. воевал с Персией и с Фивами; заключил союз с царем Египта — Нектанебо.

15. Полное имя императора Траяна — Марк Ульпий Траян.

16. Антигон Одноглазый отвоевал у персов не Кавказ, а Малую Азию и Армению.

17. Антигон Одногдазый погиб в бою, но не при Иссе (333 год до н. э.), а при Ипсе (301 год до н. э.). При Иссе Антигон вместе с Александром разбил персидского царя Дария. При Ипсе Антигон был разбит союзом других диадохов: Селевка, Птолемея, Кратера, Эвмена.

18. Гней Помпей Великий не погиб в бою с Цезарем, а был убит греческими правителями Египта. Те надеялись откупиться от Цезаря головою Помпея, но грубо ошиблись. Цезарь покарал убийц славного Помпея позорной смертью.

19. В последней битве Цезаря — при Мунде в Испании — погиб не Гней Помпей Великий, а старший из его сыновей — тезка отца.

20. Марк Красс подавил восстание рабов не на Сицилии, а в Италии:

это было восстание под руководством Спартака.

21. Македонский воевода Парменион не погиб от стрел врагов. Он был казнен по обвинению в соучастии со своим сыном Филотой: тот устроил заговор против Александра Македонского за его самовластье.

22. Македонец Кассандр был сыном не Пармениона, а Антипатра. Дождавшись смерти своего отца и Александра, Кассандр пытался захватить власть в Македонии. При этом Кассандр казнил многих знатных македонцев. Их родичи отомстили Кассандру, перейдя на сторону его врага — Антигона Гоната, внука Антигона Одноглазого. Тот основал в Македонии новую династию царей, ибо все родичи Александра к тому времени погибли.

23. Плутарх из осторожности не писал биографии цариц — Клеопатры и Олимпиады, поскольку первая из них была врагом Октавиана Августа, а вторая была казнена македонской знатью за убийство их родичей.

24. Старый македонский воевода Антипатр умер от болезни вскоре после смерти царя Александра. Царицу Олимпиаду он не поддерживал, но удерживал ее от борьбы за власть, пока он был жив.

25. Александрийская бумага — это выражение не имело смысла в античном мире, пока в Египте все писали на папирусе. Бумага попала в Средиземноморье из Китая в VIII или IX веке через Арабский Халифат.

Аналитический обзор Задание 1. Удачные либо неудачные решения задачи о «реке, текущей наоборот», различались с первой фразы: авторы предлагали либо (верно) реку Иордан, что течёт с севера на юг [навстречу течению Нила], либо (неверно) реку Евфрат, которой войска Тутмеса III едва достигли. Однако школьников-сторонников Иордана оказалось гораздо меньше, чем сторонников более известного Евфрата.



Pages:   || 2 |

Похожие работы:

«ГOCУДАРCТBЕHHOЕ БЮДЖЕТHOЕ OБРАЗOBАТЕЛЬHOЕ УЧРЕЖДЕHИЕ BЫCШЕГO ПРOФЕCCИOHАЛЬHOГO OБРАЗOBАHИЯ КУБАHCКИЙ ГOCУДАРCТBЕHHЫЙ МЕДИЦИHCКИЙ УHИBЕРCИТЕТ (ГБOУ BПO КyбГМУ) МИHИCТЕРCТBА ЗДРАBOOХРАHЕHИЯ Р...»

«Карагандинская областная универсальная научная библиотека имени Н.В.Гоголя Отдел краеведения Отдел производственной литературы лке экологиясы Библиографиялы дебиеттер крсеткіші Экология края Караганда, 2004 К читателю Проблема охраны окружающей среды в конце ХХ начале ХХI стол...»

«Канев М.В, Дубинин М.Ю. ВЕРИФИКАЦИЯ ЛЕСОУСТРОИТЕЛЬНЫХ МАТЕРИАЛОВ ПО ДАННЫМ СПУТНИКОВОЙ СЪЕМКИ Кафедра экологического мониторинга и прогнозирования РУДН, Москва ЛЕСОУСТРОЙСТВО – это предусмотренное законодательством обследование и описание лесов, включающее комплекс мер по оценке состояния и возможности использования лесн...»

«ГБОУ ВПО “Уральская государственная медицинская академия” Министерства здравоохранения Российской Федерации Кафедра микробиологии, вирусологии и иммунологии Методические указания №23 к практическим занятиям для студе...»

«Порше Центр Краснодар • 350015 • Краснодар • Новокузнечная, 34/1 ООО "Премиум Кар"Получатель: PC Krasnodar (Premium Car), Новокузнечная, 34/1 350015 Краснодар 350015 Краснодар Телефон: +7-861-255-3...»

«DEFRO-RU – ІНСТРУКЦІЯ ОБСЛУГОВУВАННЯ TECH Декларація згідності для командоконтролерів ST-DEFRO-RU № 34/2010 Ми, фірма ТЕХ (TECH), вул. С. Баторія 14, 34-120 Aндрихув, з повною відповідальністью заявляємо, що нами виготовляємі терморегулятори DEFRO-RU 230V, 50 Гц виповняють вимоги Розпорядже...»

«ЭКОЛОГИЧЕСКИЙ ТУРИЗМ КАК ПРИОРИТЕТНОЕ НАПРАВЛЕНИЕ КУЛЬТИВИРОВАНИЯ ЗДОРОВОГО ОБРАЗА ЖИЗНИ СРЕДИ СТУДЕНЧЕСКОЙ МОЛОДЕЖИ Щербакова Е.А. Саратовский государственный университет имени Н.Г. Чернышевского Здоровая молодежь – залог сильного государства, в связи с чем, формирование здорового образа жизни в молодежной среде являетс...»

«Штумпф Дарья Сергеевна СПИРОХЕТОЗ КУР (МОРФОБИОЛОГИЧЕСКИЕ АСПЕКТЫ И ЛЕЧЕНИЕ) 03.02.11 – паразитология АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата ветеринарных наук Ставрополь – 2010 Работа выполнена на кафедре паразитологии и ветеринарно-санитарной экспертизы ФГОУ ВПО "Ставропольский государственный аграрный университет" Научный руководитель: доктор вет...»

«Статистика по технике безопасности, экологии и охране труда 2016г. (за период с января по декабрь 2016) Примечание Пожалуйста, тщательно прочитайте инструкцию по заполнению перед началом внесения данных в эту форму Проектная организация Генподрядчик Субподрядчик НАЗВАНИЕ КОМПАНИИ: Ваша Ваши компан...»

«Протокол совещания Банка России по вопросу автоматизации сдачи отчетности страховых организаций Короп Станислав Викторович Координатор Структурное подразделение Департамент сбора и обработки отчетности некредитных Банка...»

«ПЕРСПЕКТИВЫ ВВЕДЕНИЯ В КУЛЬТУРУ БОБОВЫХ МЕСТНОЙ ФЛОРЫ Мустафаев С.М.1, Мурадов Ш.О.2, Киличева Д.И.3 Мустафаев Самадулло Муртазаевич доктор биологических наук, профессор, кафедра ботаники, Каршинский государственный у...»

«Министерство образования и науки РФ ФГБОУ ВПО Уральский государственный лесотехнический университет Кафедра лесной таксации и лесоустройства Содержание лекционных занятий по дисциплине "Основы лесного хозяйс...»

«ПОЛОЖЕНИЕ О ПРИМЕНЕНИИ МЕТОДОВ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКИ ДЛЯ УЧЕТА И КОНТРОЛЯ ЯДЕРНЫХ МАТЕРИАЛОВ РБ 066 11 проведение сертификации ФЕДЕРАЛЬНАЯ СЛУЖБА ПО ЭКОЛОГИЧЕСКОМУ, ТЕХНОЛОГИЧЕС...»

«Коммерческое предложение ООО "БИОСМАРТЕКС", специализирующееся на разработке, проектировании, изготовлении и комплектации высокотехнологического оборудования для переработки всех видов биомасс, в высокоэффективное, экологически чистое твердое биотопливо топливные гранулы (пеллеты) и топливны...»

«Овчинников Сергей Николаевич ЗАЩИТА ДИКОЙ ФАУНЫ И ФЛОРЫ В МЕЖДУНАРОДНОМ ТАМОЖЕННОМ ПРАВЕ В статье рассматриваются некоторые экологические аспекты международного таможенного права. Защита дикой фауны и флоры является одним из важных природоохранных направлений современного международного права, как общего, так и...»

«Винокурова Наталья Федоровна Теория и методика изучения глобальных экологических проблем на основе геоэкологического подхода в школьной географии 13.00.02 теория и методика обучения географии АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени докт...»

«Жакот Анна Николаевна Влияние технологии забора материала на достоверность результатов бактериологического исследования дыхательных путей у больных со злокачественными опухолями лгких 03.02.0...»

«ОАО "Мобильные Телесистемы" Тел. 8-800-250-0890 www.mts.ru Smart для своих 5 ГБ ИНТЕРНЕТА Федеральный номер / Городской номер БЕЗЛИМИТНЫЕ звонки на МТС по всей России Авансовый метод расчетов Тариф открыт для перехода с...»

«ПРАВИТЕЛЬСТВО ИВАНОВСКОЙ ОБЛАСТИ ПОСТАНОВЛЕНИЕ от _ № _-п г. Иваново Об утверждении условий проведения торгов на осуществление сбора и транспортирования твердых коммунальных отходов В соответствии со статьей 24.6 Федерального закона от 24.06.1998 № 89-ФЗ "Об отходах производства и потребления", Постан...»

«ВЕСТНИК БЕЛГОРОДСКОГО УНИВЕРСИТЕТА КООПЕРАЦИИ, ЭКОНОМИКИ И ПРАВА УДК 338.436.33: Перцев В.Н., канд. экон. наук, глава администрации Ракитянского района ПОВЫШЕНИЕ УСТОЙЧИВОСТИ РАЗВИТИЯ РЕГИОНАЛЬНОГО АПК НА ОСНОВЕ БИОЛОГИЗАЦИИ ЗЕМЛЕДЕЛИЯ В статье рассматр...»

«Август 2012 № 8 (16) 1 (40) ЯНВАРЬ 2016 № ::НОВОСТИ:: ::ОБЗОРЫ:: ::КОММЕНТАРИИ:: ::РЕПОРТАЖИ:: ::ВЫСТАВКИ:: ::ТЕНДЕНЦИИ:: АНОНС НОМЕРА ДОРОГИЕ ДРУЗЬЯ! Настал новый, 2016 год! И по-прежнему с вами издан...»

«Негосударственное образовательное учреждение высшего профессионального образования "Русско-Британский Институт Управления" (НОУВПО РБИУ) Кафедра международного сервиса и туризма Аксель Е.В. МЕТОДИЧЕС...»

«ОПИСАНИЕ BY (11) 5555 РЕСПУБЛИКА БЕЛАРУСЬ (19) ИЗОБРЕТЕНИЯ (13) C1 К ПАТЕНТУ 7 (51) B 24D 3/14 (12) НАЦИОНАЛЬНЫЙ ЦЕНТР ИНТЕЛЛЕКТУАЛЬНОЙ СОБСТВЕННОСТИ МАССА ДЛЯ ИЗГОТОВЛЕНИЯ АЛМАЗНОГО АБРАЗИВНОГО (5...»

«30 апреля 1999 года N 81-ФЗ РОССИЙСКАЯ ФЕДЕРАЦИЯ КОДЕКС ТОРГОВОГО МОРЕПЛАВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Принят Государственной Думой 31 марта 1999 года Одобрен Советом Федерации 22 апреля 1999 года Список изменяющих документов (в ред. Федеральных законов от 26.05.2001 N 59-ФЗ, от 30.06.2003 N 86-ФЗ, от 02.11.2004 N 12...»

«МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования "КАРАЧАЕВО-ЧЕРКЕССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ имени У.Д. АЛИЕВА" Кафедра биологии и хим...»

«МИНИСТЕРСТВО НАУКИ И ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФГБОУ ВПО "Тюменский государственный университет"МЕТОДИКА КОМПЛЕКСНОГО ГИДРОХИМИЧЕСКОГО И БИОЛОГИЧЕСКОГО ИССЛЕДОВАНИЯ КАЧЕСТВА ВОД И СОСТОЯНИЯ ВОДНЫХ И ОКОЛОВОДНЫХ ЭКОСИСТЕМ: МЕТОДИЧЕСКОЕ РУКОВОДСТВО Часть 1. Полевые исследования Тюмень, 2011 Алешина О.А., Волк...»

«ISSN 0568-5435 РОССИЙСКАЯ АКАДЕМИЯ НАУК БОТАНИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ им. В. Л. КОМАРОВА ACADEMIA SCIENTIARUM ROSSICA INSTITUTUM BOTANICUM NOMINE V. L. KOMAROVII НОВОСТИ СИСТЕМАТИКИ НИЗШИХ РАСТЕНИЙ ТОМ 46 NOVITATES SYSTEMATICAE PLANTARUM NON VASCUL...»

«ГБОУ ВПО “Уральская Государственная медицинская академия” Министерства здравоохранения Российской Федерации Кафедра микробиологии, вирусологии и иммунологии Методические указания к практическим занятиям для студе...»

«НАЛОТИНИБ 1. Нилотиниб.2. Тасигна.3. Биологические средства для таргетной терапии.4. Противоопухолевое средство, ингибитор протеинтирозинкиназы. Избирательно ингибирует тирозинкиназную активность Bcr-Аbl онкопротеина клеточных линий первично положительных по филадельфийской хромосоме. Оказывает выраженное ингибирующее влияние на св...»










 
2017 www.book.lib-i.ru - «Бесплатная электронная библиотека - электронные ресурсы»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.