«Семинар № 7 Модели динамики популяций • Модель Мальтуса • Модель Ферхюльста • Модели Моно и Базыкина • Модели с запаздыванием • Возрастное распределение • Модель ...»

Семинар № 7

Модели динамики популяций

• Модель Мальтуса

• Модель Ферхюльста

• Модели Моно и Базыкина

• Модели с запаздыванием

• Возрастное распределение

• Модель смертности

Где применяется

Главное отличие от физики и химии – изменение

численности объектов, составляющих систему.

Области применения математических моделей динамики

популяций:

•Микробиология (количество органелл клетки)

•Санитария (распространение патогенных бактерий)

•Медицина (раковые опухоли, распространение инфекций, рост и дифференцирование тканей)

•Экология (борьба с вредителями, сохранение видов)

•Экономика (рост трудовых ресурсов, миграция, планирование социальных программ по рождаемости, продлению жизни и пенсионному страхованию)

•Страхование жизни (оценка рисков) Определения Население — непрерывно возобновляющаяся в процессе воспроизводства совокупность людей, живущих на Земле в целом или в пределах какой-либо её части (стране, части страны, группе стран и т. п.).

Численность населения — один из демографических показателей. В общем случае — число людей в определенной их совокупности (регион и т. п.).

Постоянно изменяется вследствие рождений, смертей, миграции, измеряется и оценивается по состоянию на определенный момент времени.

Рост населения Земли •15 тыс. лет до н.э. — 3 млн. человек •2 тыс. лет до н.э. — 50 млн. человек •0 год н.э. — 230 млн. человек

•в 1000 году — 275 млн. человек

•в 1800 году — 1 млрд. человек

•в 1900 году — 1,6 млрд. человек

•в 1960 году — 3 млрд. человек

•в 1993 году — 5,5 млрд. человек

•в 2003 году — 6,3 млрд. человек

•в 2011 году — 7,0 млрд. человек

•Прогноз на 2050 год — 9 млрд. человек.

Факты Крупнейшие по численности народонаселения страны (январь 2012 год):

•Китай — 1 349,7 млн. (+0,493%)

•Индия — 1 222,1 млн. (+1,344%)

•США — 313,3 млн. (+0,963%)

•Индонезия — 245,6 млн. (+1,213%)

•Бразилия — 196,0 млн. (+1,134%)

•Пакистан — 174,8 млн. (+1,573%)

•Бангладеш — 162,2 млн. (+1,573%)

•Нигерия — 154,0 млн. (+1,933%)

•Россия — 143,0 млн. (-0,03%)

•Япония — 127,0 млн. (-0,088%) Факты

•Вплоть до 1970-х гг. численность населения мира росла по гиперболическому закону; в настоящее время наблюдается прогрессирующее замедление темпов роста населения Земли.

•В начале 2000-х гг. народонаселение мира ежегодно увеличивалось примерно на 90 млн.

человек.

•Географическое распределение народонаселения неравномерно: на 7 % суши живет 70 % человечества.

•В мире насчитывается свыше 2 тыс. народов (в России — более 100).

Показатели населения

•численность и динамика численности

•интенсивность демографических процессов:

рождаемость, смертность, естественный прирост, брачность

•расселение, урбанизация, миграция

•возрастно-половой состав и семейное состояние

•уровень образования

•расовый, языковой, этнический и религиозный состав Ряд Фибоначчи Леонардо из Пизы, более известный как Фибоначи (Leonardo Pisano, Fibonacci (сын Боначи), около 1170 — около 1250), — итальянский купец, рассмотревший идею так называемых чисел Фибоначчи и считающийся одним из самых значительных западных математиков средневековья.

"Некто выращивает кроликов в пространстве, со всех сторон обнесенном высокой стеной. Сколько пар кроликов рождается в один год от одной пары, если через месяц пара кроликов производит на свет другую пару, а рожают кролики, начиная со второго месяца после своего рождения.".

Модель Мальтуса Томас Роберт Мальтус (англ. Thomas Robert Malthus, 1766-1834) — английский священник и учёный, демограф и экономист В 1798 году он опубликовал свою книгу «Essay on the Principle of Population» («Опыт о законе народонаселения»).

Модель Мальтуса

Основные идеи «Опыта»:

•Если рост населения не задерживается какимилибо причинами, то население будет удваиваться каждые четверть века, и, следовательно, возрастать в геометрической прогрессии.

•В своей книге ученый впервые использовал категорию «борьба за существование», которая затем была использована биологом Ч. Дарвином в его «Происхождении видов»

Модель Мальтуса

Модель Базыкина:

N2 dN N N 2 = a + N dt

Система имеет 3 стационарные точки:

•N=0 и N=k (ёмкость среды) – устойчивые

•N=L, 0Lk – неустойчивая.

Критическая численность Смысл величины L: при низких плотностях популяции время, необходимое для встречи разнополых особей и оплодотворения, становится больше времени пути отдельной особи, способной к оплодотворению.

•При T 1/r (собственное время системы) могут возникать нарастающие колебания

•При T 1/r колебания затухают.

Пример: у саранчи время развития от яйца до взрослой особи больше времени естественной смертности периодически возникают «вспышки» численности.

При этом амплитуда “вспышки” пропорциональна интервалу между вспышками ( “регулярный хаос“) Уравнение Морана

Для простоты рассмотрим упрощенную модель Морана:

xn +1 = rxn (1 xn )

Возможны следующие варианты :

• r 1 – численность стремится к устойчивому равновесию • 1 r 2,570 – устойчивые циклы, по мере увеличения длина цикла растет, и значения численности повторяются через 2, 4, 8, …, 2n поколений

• r 2,570 – хаотизация решений Уравнение Морана Типы динамики численности в модели популяции с неперекрывающимися поколениями при разных значениях собственной скорости роста:

•а - затухающие колебания;

•б - монотонный рост;

•в - двухточечный цикл;

•г - четырехточечный цикл;

•д, е - квазистохастическое поведение.

Уравнение Морана Точка бифуркации – качественная перестройка системы c возникновением нового режима ее поведения. Вхождение системы в непредсказуемый режим описывается каскадом бифуркаций, следующих одна за другой.

Распределение по возрасту Дискретные возрастные модели, в которых популяция делится на конечное число возрастных групп, описываются системой разностных уравнений Лесли:

x ( t + 1) = Lx ( t ) где x - вектор численности возрастных групп, а L матрица вероятностей перехода.

Матрица Лесли

Прогноз – стабилизация численности населения Земли на 11-14 млрд. человек.